Η ποιοτική θεωρία των διαφορικών εξισώσεων του Sophus Lie: ιστορικές και διδακτικές ερευνητικές προσεγγίσεις και σύγχρονες προεκτάσεις στα θεωρητικά μαθηματικά

Abstract

Η εργασία αποτελείται από τρία μέρη: ένα ιστορικό, ένα διδακτικό και ένα καθαρά μαθηματι-κό, με θεματική συνοχή. Το γενικό θέμα είναι: η γεωμετρική-ποιοτική θεωρία των δυναμικών συστημάτων με εξειδικεύσεις στις συνήθεις (ΣΔΕ) ή στις μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΜΔΕ). Στο ιστορικό μέρος αναλύεται, με συστηματική αναφορά στις πηγές, το έργο του Lie για τις ΜΔΕ, που μπορεί να θεωρηθεί ως η απαρχή της γεωμετρικής θεωρίας των ΜΔΕ. Το έργο αυτό περιέχει πολλούς νεωτερισμούς, που έχουν τα αντίστοιχά τους στη σύγχρονη σχετική έρευνα. Μη αναμενόμενο ήταν ότι ο Lie δόμησε τη θεωρία του «ομάδες μετασχηματισμών» σε αναλογία με το πλαίσιο της θεωρίας Galois. To διδακτικό μέρος έχει ως αντικείμενο τη διδασκαλία της Ανάλυσης στο Λύκειο, η οποία προγραμματίζεται στο διδακτικό πλαίσιο «Ιστορία + Διδακτική», οπότε, μετά την αναγκαία «βα-σική γνώση», επικεντρώνεται στην ανάλυση μοντέλων που διατυπώνονται μέσω του «ρυθμού μεταβολής» με τη μορφή απλών ΣΔΕ, αναδεικνύοντας τον «εφαρμοσμένο χαρακτήρα» της Ανάλυσης. Το καθαρά μαθηματικό μέρος αναφέρεται στην ποιοτική θεωρία των τοπολογικών δυνα-μικών συστημάτων (που αποτελούν γενίκευση των διαφορικών εξισώσεων) των 2-πολλαπλο-τήτων: αναλύουμε πλήρως τη δυναμική συμπεριφορά και την τοπολογική δομή των 1-διάστα-των «αλυσωτά επαναφερόμενων» συνόλων για τα δυναμικά συστήματα στο προβολικό επίπε-δο και τη «φιάλη του Klein». Ι. Ιστορικό μέρος Ι.1 Οι κύριες επιδράσεις στον Lie επιγραμματικά στο επίπεδο των εννοιών και του πλαισίου (1) Η παραγωγή γεωμετρικών αντικειμένων «ανώτερης τάξης» από απλούστερα, με κύριους αντιπροσώπους τους Clairaut, Monge, Poncelet, Steiner και Plucker μεταξύ 1780 και 1850. Π.χ.: ευθειογενείς καμπύλες και επιφάνειες. (2) Η αντιμετώπιση γεωμετρικών «αναλλοιώτων» ως προς μετασχηματισμούς με αλγεβρικούς όρους, με κύριους εκπρόσωπους τους Cayley, Salamon, Clebsch και Sylvester μεταξύ 1845 και 1870. Π.χ.: αναλλοίωτα καμπύλων 2ου βαθμού. (3) Μια έννοια «πολλαπλότητας», με κύριους εκφραστές τους Riemann (1854) και Grassmann (1844-1862), o οποίος όρισε τη «διάσταση» μιας «πολλαπλότητας» με «κινητικό» τρόπο, δη-λαδή θεωρώντας ότι η κίνηση πάνω σε «καμπύλη» ορίζει μια διάσταση, σε «επιφάνεια» δύο κ.ο.κ, με τρόπο που προσιδιάζει στην έννοια του (εφαπτόμενου) «διανύσματος» και την έννοια της διάστασης που ορίζεται μέσω αυτού. (4) Το πλαίσιο «γεωμετρικοποίησης» της δομής του φυσικού χώρου και της Μηχανικής, με κύριους εκπροσώπους τους Chasles (1843-1860) και Ηelmholtz (1868). Οι κύριες επιδράσεις στο Lie επιγραμματικά στο διαδικαστικό επίπεδο των ΜΔΕ (5) Ο Poisson (1809) χωρίς να έχει δει το συστηματικό ρόλο των «μεταθετικών συμμετριών» στην ολοκλήρωση των ΜΔΕ τις χρησιμοποίησε σε προβλήματα Μηχανικής. (6) Αργότερα, το 1836, ο Jacobi, ασχολήθηκε με ΜΔΕ της μορφής , , αν είναι η ζητούμενη συνάρτηση. Ο Jacobi έφτασε στο ανάλογο των αγγύλων του Lie, που θα δούμε παρακάτω, λειτουρ-γώντας σε καθαρά διαδικαστικό επίπεδο, χωρίς να έχει συνειδητοποιήσει ότι η «μεταθετι-κότητα» των μετασχηματισμών που απορρέει από τη σχέση αποτελεί γεωμετρικό στοιχείο του θεωρητικού πλαισίου των ΜΔΕ. Η πορεία του Jacobi προς τις παρενθέσεις του ήταν η εξής: Έστω η ΜΔΕ και μια λύση της, όπου τα αντιστοιχούν στις αρχικές συνθήκες. Αν λύσουμε το σύστημα , , ως προς τα , προκύπτουν οι ΜΔΕ: . Επειδή η είναι λύση της αρχικής ΜΔΕ, μπορούμε να υποθέσουμε ότι η πρώτη από αυτές τις ΜΔΕ είναι η αρχική. Στο σημείο αυτό ο Jacobi διαπιστώνει ότι, αφού η είναι λύση όλων των προηγούμενων ΜΔΕ, ισχύει , . Και τούτο, διότι οι και (με διαφορίσεις ως προς τα ) δίνουν: και μετά από πολλαπλασιασμό με και άθροιση: και ανάλογα .