Localization theory in higher homological algebra and triangulated categories

Abstract

The aim of this thesis is to develop the localization theory of n-abelian categories and the localization theory of n-angulated categories. Starting with a bicalculable class of morphisms S in an n-abelian or in an n-angulated category, we construct in a universal way a localized n-abelian or n-angulated category respectively, where the morphisms in S have been inverted. This solves satisfactory the problem of localizing an n-abelian or an n-angulated category. The thesis is divided in four chapters. Chapter 1 consists of a brief introduction to Higher Homological Algebra and to the general theory of Localization in the form of calculus of fractions. In Chapter 2, we define the notion of a pre-n-abelian category which will be used in the proof of the main result on the localization of n-abelian categories. In Chapter 3, we prove our first main result of the thesis: for any n-abelian category M and any bicalculable system of morphisms S in M, we construct an n-abelian category and an n-exact functor, universal among all S-inverting n-exact functors out of M to any n-abelian category. In Chapter 4, we present our second main result, proving that the localization of an n-angulated category is also an n-angulated category, the localization functor is n-exact, and satisfies the desired universal property.

Στόχος της διατριβής είναι η ανάπτυξη της θεωρίας τοπικοποίησης των n-αβελιανών κατηγοριών και των n-τριγωνισμένων κατηγοριών. Ξεκινώντας με μία υπολογίσιμη κλάση μορφισμών S σε μία n-αβελιανή ή σε μία n-τριγωνισμένη κατηγορία, κατασκευάζουμε με καθολικό τρόπο μία τοπικοποιημένη n-αβελιανή ή μία n-τριγωνισμένη κατηγορία αντίστοιχα, όπου οι μορφισμοί της κλάσης S έχουν αντιστραφεί. Έτσι λύνεται ικανοποιητικά το πρόβλημα της τοπικοποίησης μίας n-αβελιανής ή μίας n-τριγωνισμένης κατηγορίας. Η διατριβή χωρίζεται σε τέσσερα κεφάλαια. Το Κεφαλαίο 1 αποτελεί μία σύντομη εισαγωγή στην Ανώτερη Ομολογική Άλγεβρα και στη γενική θεωρία Τοπικοποίησης με τη μορφή λογισμού κλασμάτων. Στο Κεφάλαιο 2, ορίζουμε την έννοια μίας ημι-n-αβελιανής (pre-n-abelian) κατηγορίας η οποία θα χρησιμοποιηθεί στην απόδειξη του κύριου αποτελέσματος στην τοπικοποίηση n-αβελιανών κατηγοριών. Στο Κεφάλαιο 3, αποδεικνύουμε το πρώτο κύριο αποτέλεσμα της διατριβής: για κάθε n-αβελιανή κατηγορία M και για κάθε υπολογίσιμο σύστημα μορφισμών S στην Μ, κατασκευάζουμε μία n-αβελιανή κατηγορία και έναν n-ακριβή συναρτητή, καθολικό ως προς όλους τους S-αντιστρεπτικούς n-ακριβείς συναρτητές από την M σε κάθε n-αβελιανή κατηγορία. Στο Κεφάλαιο 4, παρουσιάζουμε το δεύτερο κύριο αποτέλεσμα της διατριβής, αποδεικνύοντας ότι η τοπικοποίηση μίας n-τριγωνισμένης κατηγορίας είναι επίσης μία n-τριγωνισμένη κατηγορία, ο συναρτητής τοπικοποίησης είναι n-ακριβής και πληροί την επιθυμητή καθολική ιδιότητα.