Η ανθυφαιρετική φύση των μαθημάτων στον Πλάτωνα

Abstract

In the Republic 510b2511d5, Plato, though he praises profusely the nature of geometry, criticizes severely the way geometers practice geometry. Plato believes that geometers should not move downwards from hypotheses (and postulates) to conclusions, but upwards, ascending from hypotheses to higher hypotheses, till they achieve the status of hypothesis-free (‘unhypotheton’) (called: adequate (‘hikanon’) in the Phaedo 101b9102a1). The purpose of the present thesis is to develop a novel interpretation of the role of mathematics (‘mathemata’) in Platonic philosophy. The interpretation is based on an earlier interpretation of the Platonic method of Division and Collection, by S. Negrepontis, in terms of periodic anthyphairesis, and on the establishment that Division and Collection is the dialectic method in the Republic. Roughly speaking, ascent from hypotheses to higher hypotheses corresponds to Division, while ‘anhypotheton’ is the Collection achieved by the ‘Logos’-ratio of periodicity. A confirmation of the correctness of this interpretation can be found in the relation between Division and Ascent in Aristotle (Analytics and Nicomachean Ethics), an imitation of the Platonic method (despite the fact that Aristotelian Division is strictly finite, while Platonic Division is infinite periodic). Aristotle’s descriprion of Ascent agrees closely with geometric analysis, especially as described by Pappus in the Collection.

Στην Πολιτεία 510b2511d5 ο Πλάτων, παρότι εγκωμιάζει τη φύση της γεωμετρίας, ασκεί αυστηρή κριτική στην πρακτική των γεωμετρών. Ο Πλάτων πιστεύει ότι οι γεωμέτρες δεν πρέπει να κινούνται καθοδικά από τις υποθέσεις (και τα αιτήματα) προς τα συμπεράσματα, αλλά ανοδικά, ανεβαίνοντας από υποθέσεις σε ανώτερες υποθέσεις, μέχρι να επιτύχουν την κατάσταση του ανυπόθετου (το οποίο στον Φαίδωνα 101b9102a1 καλείται ‘ικανόν’). Σκοπός της παρούσας διατριβής είναι η ανάπτυξη μιας νέας ερμηνείας για τον ρόλο των μαθηματικών (‘μαθήματα’) στην Πλατωνική Φιλοσοφία.Η ερμηνεία βασίζεται σε μια προγενέστερη ερμηνεία της Πλατωνικής μεθόδου της Διαίρεσης και Συναγωγής, από τον Σ. Νεγρεπόντη, σε σχέση με την περιοδική ανθυφαίρεση, και την απόδειξη ότι η διαλεκτική μέθοδος της Πολιτείας είναι η Διαίρεση και Συναγωγή. Συνοπτικά η άνοδος από υποθέσεις σε ανώτερες υποθέσεις αντιστοιχεί στην Διαίρεση, ενώ το ‘ανυπόθετον’ είναι η Συναγωγή που επιτυγχάνεται με τον ‘Λόγο’ – λόγο της περιοδικότητας. Επιβεβαίωση της ορθότητας της ερμηνείας αυτής μπορούν να βρεθούν στη σχέση μεταξύ Διαίρεσης και Ανόδου στον Αριστοτέλη (Αναλυτικά και Ηθικά Νικομάχεια), μια απομίμηση της Πλατωνικής μεθόδου (παρά το γεγονός ότι η Αριστοτελική Διαίρεση είναι αυστηρά πεπερασμένη, ενώ η Πλατωνική Διαίρεση είναι άπειρη περιοδική). Η Αριστοτελική περιγραφή της Ανόδου συμφωνεί στενά με την γεωμετρική ανάλυση, ιδίως όπως αυτή έχει περιγραφεί από τον Πάππο στη Συναγωγή.