Ομολογικές και ομοτοπικές ιδιότητες των επίπεδων προτύπων

Abstract

Acyclic complexes of modules with kernels presenting certain homological properties constitute the foundation of Gorenstein Homological Algebra. In this dissertation we study such acyclic complexes under certain "module operations", namely tensor product and homomoprhism groups in order to discover some interesting properties of theirs. In addition, it would be useful to study the relation between the kernels of the new complex arising from these module operations. The search for invariables however does not confine itself to the preservation of of homological properties of complexes under module operations, but is also related to the interesting concepts of silpR and spliR, for a given ring R, namely the suprema of injective lengths of projective modules and the projective lengths of injective modules respectively. Since these dual concepts give us bounds for how far a ring is from having all its projective modules injective and all its injective modules projective respectively, it is useful to understand if and if yes, under which conditions, the finiteness of the one invariable implies the finiteness of the other. To this end, we use the class of coherent rings, where every finitely generated ideal is finitely presented.

Τα ακυκλικά συμπλέγματα προτύπων με πυρήνες που εμφανίζουν συγκεκριμένες ομολογικές ιδιότητες συνιστούν τη βάση της Gorenstein Ομολογικής Άλγεβρας. Σε αυτήν την εργασία μελετάμε τέτοια ακυκλικά συμπλέγματα κάτω από συνηθισμένες «πράξεις» προτύπων, όπως το τανυστικό γινόμενο και τις ομάδες ομομορφισμών, με σκοπό να ανακαλύψουμε κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητές τους. Επιπλέον, θα ήταν χρήσιμο να διερευνηθεί η σχέση μεταξύ των πυρήνων του καινούριου συμπλέγματος, που προκύπτει από αυτές τις συγκεκριμένες πράξεις προτύπων. Η αναζήτηση αναλλοιώτων ωστόσο δεν περιορίζεται στην διατήρηση των ομολογικών ιδιοτήτων συμπλεγμάτων κάτω από πράξεις προτύπων, αλλά σχετίζεται με τις ενδιαφέρουσες έννοιες των silpR και spliR, τα οποία έχουν ορισθεί ως τα suprema των εμφυτευτικών μηκών των προβολικών προτύπων και των προβολικών μηκών των εμφυτευτικών προτύπων αντίστοιχα. Επειδή αυτές οι δυϊκές μεταξύ τους έννοιες μας δίνουν φράγματα για το πόσο απέχει ένας δακτύλιος από το να έχει όλα τα προβολικά πρότυπά του εμφυτευτικά και αντίστοιχα, όλα τα εμφυτευτικά πρότυπά του προβολικά, είναι χρήσιμο να καταλάβουμε σε μία πρώτη φάση το εάν και εάν ναι, υπό ποιές συνθήκες, η περατότητα του ενός αναλλοιώτου συνεπάγεται την περατότητα του άλλου. Προς αυτήν την κατεύθυνση, εκμεταλλευόμαστε την ιδιότητα κάποιων δακτυλίων να έχουν κάθε πεπερασμένα παραγόμενο ιδεώδες τους πεπερασμένα παριστώμενο, να είναι δηλαδή coherent.