Αναλυτικές τεχνικές για την λύση μη γραμμικών προβλημάτων της μηχανικής των στερεών και ρευστών

Abstract

This dissertation aims to lay the foundation of analytical techniques and methods in order to obtain closed-form solutions concerning nonlinear differential equations in mechanics. We mainly use the method of functional transformations, as well as the "ad hoc" assumptions. In certain cases these techniques are combined with classical methods, like the "separation of variables" one. The integration of the transformed equations is basically achieved through Lagrange and Monge methods, which have the advantage of resulting in forms containing arbitrary functions. The latter furnish the effect of whichever boundary shape and load, at every point of the field of the problem under consideration. Based on the techniques mentioned above, we obtain closed-forms solutions concerning: a) a system of strongly non linear o.d.es governing the stress and strain fields in elastic-plastic bodies with low hardening exponent under plain-stain conditions and b) the nonlinear P.D.E. describing the velocity and acceleration fields of irrotational frictionless flow in the small perturbation theory i) for the two- dimensional steady case and ii) for the three dimensional unsteady supersonic case. In particular, an implicit solution based on the theory of elliptic integrals is given for the problem (a). Furthermore, exact analytical solutions are extracted for the elastic perfectly plastic materials. As far as the problem (b) is concerned, analytical solutions in the form of infinite eigenvalues series are constructed. The convergence of the latter is provided by special analysis. (abstract truncated)

Ο στόχος της διατριβής είναι η θεμελίωση αναλυτικών τεχνικών και μεθόδων για την επίτευξη κλειστών λύσεων που αφορούν μη γραμμικές διαφορικές εξισώσεις στην μηχανική. Χρησιμοποιείται κυρίως η μέθοδος των συναρτησιακών μετασχηματισμών, καθώς και οι "ad hoc" υποθέσεις. Σε ορισμένες περιπτώσεις οι τεχνικές αυτές συνδυάζονται με κλασσικές μεθόδους όπως αυτή του "χωρισμού μεταβλητών". Η ολοκλήρωση των μετασχηματισμένων μορφών, επιτυγχάνεται κυρίως δια επιλύσεως των εξισώσεων Lagrange και Monge, οι οποίες έχουν το πλεονέκτημα ότι καταλήγουν σε μορφές περιέχουσες αυθαίρετες συναρτήσεις. Οι τελευταίες παρέχουν την επίδραση οιασδήποτε γεωμετρίας και φορτίσεως συνόρου σε κάθε σημείο του πεδίου λύσεως. Με την χρήση των παραπάνω τεχνικών, επιλύονται υπό κλειστή μορφή: α) σύστημα εντόνως μη γραμμικών συνήθων διαφορικών εξισώσεων που περιγράφει τα πεδία τάσεων και παραμορφώσεων σε ελαστικά-πλαστικά σώματα υπό συνθήκες επιπέδου-παραμορφώσεως και β) η μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση μικρών διαταραχών που αφορά τα πεδία ταχυτήτων και επιταχύνσεων στην αστρόβιλη ροή άνευ τριβής i) στην ανεξάρτητη του χρόνου δισδιάστατη ροή και ii) στην εξαρτώμενη εκ του χρόνου τρισδιάστατη υπερηχητική ροή. Ειδικότερα για το πρόβλημα (α) αποκτάται πεπλεγμένη λύση μέσω της θεωρίας των ελλειπτικών ολοκληρωμάτων, καθώς δε και ακριβείς λύσεις για τα απολύτως πλαστικά σώματα, ενώ για το πρόβλημα (β) εξάγονται ακριβείς αναλυτικές λύσεις, υπό την μορφή απειροσειράς ιδιοτιμών, η σύγκλιση των οποίων αποδεικνύεται μέσω ειδικής αναλύσεως. (περικοπή περίληψης)