Enumerative combinatorics, representations and quasisymmetric functions

Abstract

The present thesis consists of two parts whose main protagonists are colored quasisymmetric functions. In 1984, Gessel introduced quasisymmetric functions, a generalization of symmetric functions. In 1993, together with Reutenauer they studied specializations of families of quasisymmetric functions associated to subsets of the symmetric group, which have many desirable properties, such as symmetry and Schur-positivity. In 1998, Poirier introduced colored quasisymmetric functions, a colored analogue of quasisymmetric functions. In the first part, we develop a general theory of specializations of colored quasisymmetric functions in the spirit of Gessel and Reutenauer’s work. This allows us to systematically prove refined Euler–Mahonian identities on colored permutation groups and subsets of these, such as derangements and involutions. In 2017, Elizalde and Roichman proved that the quasisymmetric function of the product of a collection of permutations whose quasisymmetric generating function equals the Frobenius characteristic of some character χ of the symmetric group and an inverse descent class equals the Frobenius characteristic of the character of the tensor product of χ and the corresponding descent representation of the symmetric group. The second part deals with proving a colored analogue of Elizalde and Roichman’s result. More precisely, we introduce a notion of colored ribbons and prove that the (colored) Frobenius characteristic of the descent representation of colored permutation groups equals the colored quasisymmetric generating function of colored ribbon shaped tableaux. This provides a colored analogue of Gessel’s zig-zag shape approach to descent representations of the symmetric group. In addition, exploiting Hsiao–Petersen’s theory of colored P-partitions and the method developed in the first part, we prove a colored analogue of Stanley’s shuffling theorem.

Η παρούσα διατριβή αποτελείται ουσιαστικά από δυο μέρη με κύριο πρωταγωνιστή τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις. Το 1984 ο Gessel εισήγαγε τις quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, μια γενίκευση των συμμετρικών συναρτήσεων. Έπειτα, το 1993, μαζί με τον Reutenauer μελέτησαν εκτιμήσεις διάφορων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων που σχετίζονται με υποσύνολα της συμμετρικής ομάδας, τα οποία έχουν ενδιαφέρουσες ιδιότητες, όπως για παράδειγμα, συμμετρία και Schur-θτεικότητα. To 1998 ο Poirier εισήγαγε τις χρωματισμένες quasi-συμμετρικές συναρτήσεις, ένα χρωματισμένο ανάλογο των quasi-συμμετρικών συναρτήσεων του Gessel. Στο πρώτο μέρος, αναπτύσσουμε μια γενική θεωρία εκτιμήσεων χρωματισμένων quasi-συμμετρικών συναρτήσεων στο πνεύμα των Gessel και Reutenauer. Αυτό μας επιτρέπει να αποδείξουμε συστηματικά γενικευμένες ταυτότητες Euler-Mahonian πάνω από χρωματισμένες ομάδες μεταθέσεων καθώς και πάνω από ενδιαφέροντα υποσύνολα αυτών, όπως το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων χωρίς σταθερά σημεία μηδενικού χρώματος (colored derangements) και το σύνολο των χρωματισμένων μεταθέσεων που ισούνται με τον συζυγή αντίστροφό τους (absolute involutions). Το 2017 οι Elizalde και Roichman απέδειξαν ότι η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ενός υποσυνόλου της συμμετρικής ομάδας, του οποίου η quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση ισούται με την χαρακτηριστική Frobenius κάποιου χαρακτήρα χ της συμμετρικής ομάδας, και μιας αντίστροφης κλάσης καθόδων ισούται με τη χαρακτηριστική Frobenius του τανυστικού γινομένου του χ και του χαρακτήρα της αντίστοιχης αναπαράστασης καθόδων της συμμετρικής ομάδας. Στο δεύτερο μέρος αποδεικνύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος των Elizalde και Roichman. Πιο συγκεκριμένα, εισάγουμε την έννοια της χρωματισμένης λωρίδας και αποδεικνύουμε ότι η χαρακτηριστική Frobenius της αναπαράστασης καθόδων της χρωματισμένης ομάδας μεταθέσεων ισούται με την χρωματισμένη quasi-συμμετρική γεννήτρια συνάρτηση του συνόλου των ταμπλώ που το σχήμα τους είναι χρωματισμένη λωρίδα. Αυτό αποτελεί χρωματισμένο ανάλογο της προσέγγισης του Gessel στις αναπραστάσεις καθόδων της συμμετρικής ομάδας, ο οποίος χρησιμοποιεί λωρίδες (ή αλλιώς σχήματα zig-zag). Επιπλέον, στηριζόμενοι στη θεωρία χρωματισμένων P-διαμερίσεων των Hsiao και Petersen και την μέθοδο που αναπτύξαμε στο πρώτο μέρος,διατυπώνουμε και αποδεινύουμε ένα χρωματισμένο ανάλογο του θεωρήματος ανακατέματος του Stanley.