Ανάπτυγμα μακρινού πεδίου και προσέγγιση χαμηλών συχνοτήτων στη μαθηματική θεωρία ακουστικής σκέδασης

Abstract

The present work studies the low frequency acoustic scattering theory with plane wave excitation and it exploits the far field expansion theorem to create an algorithm for the calculation of the low frequency coefficients of the total field, which includes smooth and bounded operators. The method is first constructed for the case of spherical scatterer and then it is generalized for smooth impenetrable scatterer of arbitrary geometry. Based on the far field expansion theorem, introduced by Atkinson and Wilcox, an algorithm was developed, whereby with the use of algebraic operators the low frequency coefficients of the total field is calculated, together with the range of the frequencies that the expansion is valid, in the case of a spherical scatterer under any boundary conditions. This was achieved by calculating the coefficients of the far field expansion in an appropriate form and by using asymptotic analysis for the associated special functions in the realm of low frequencies. Using this method, the first low frequency coefficients were deduced, yielding the validity of the proposed method by both recovering already known results and accurately deriving two more coefficients. The method yields a closed-form expression for each low frequency coefficient. We then integrated the steps of the algorithm, creating a general formula in the case of the soft spherical scatterer, which directly provides the required coefficients of any order, without the need to calculate the lower order coefficients. The method is directly applicable to a mathematical software environment. In the last part of the study, the method was extended to cases where the scatterer's surface is any smooth impenetrable closed surface of arbitrary geometry. In this case an algorithm was constructed, with the help of which each low frequency scattering coefficient is calculated by solving a second order, linear and regular Fredholm equation, or an integral representation in the space between the scatterer and the closest surrounding sphere, where the integral operator involved is linear, regular and bounded. In any case the integral kernel is a spherical harmonic function of order lower or equal to the required low frequency coefficient, allowing the application of analytical or numerical methods for solving the corresponding equation in a wide class of scatterers. The algorithm was applied to the simple case of the spherical scatterer and reproduced the known results as a verification of its accuracy.

Η παρούσα διατριβή μελετά τη θεωρία ακουστικής σκέδασης με επίπεδο προσπίπτον πεδίο, στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων. Στοχεύει στην αξιοποίηση του θεωρήματος μακρινού πεδίου για την κατασκευή αλγοριθμικής μεθόδου για τον υπολογισμό των συντελεστών σκέδασης του ολικού ακουστικού πεδίου, η οποία να περιλαμβάνει ομαλούς φραγμένους τελεστές. Η μέθοδος κατασκευάστηκε αρχικά για την περίπτωση σφαιρικού σκεδαστή και στη συνέχεια για ομαλό μη διαπερατό σκεδαστή αυθαίρετης γεωμετρίας. Με βάση το θεώρημα μακρινού πεδίου, όπως διατυπώθηκε από τους Atkinson και Wilcox, αναπτύχθηκε ένας αλγόριθμος, όπου με τη χρήση αλγεβρικών τελεστών, είναι δυνατός ο υπολογισμός των συντελεστών χαμηλών συχνοτήτων στο ανάπτυγμα του ολικού πεδίου σκέδασης, καθώς και το εύρος των συχνοτήτων ισχύος της προσέγγισης, στην περίπτωση σφαιρικού σκεδαστή με οποιεσδήποτε συνοριακές συνθήκες. Αυτό επιτεύχθηκε, προσδιορίζοντας σε κατάλληλη μορφή τους συντελεστές του αναπτύγματος του μακρινού πεδίου και χρησιμοποιώντας ασυμπτωτική ανάλυση για τις εμπλεκόμενες ειδικές συναρτήσεις, στην περιοχή των χαμηλών συχνοτήτων. Με τη μέθοδο αυτή, αναπαράχθηκαν τα ήδη γνωστά αποτελέσματα που υπάρχουν στην βιβλιογραφία, των τεσσάρων πρώτων συντελεστών και προσδιορίστηκαν αναλυτικά επιπλέον δύο συντελεστές. Η μέθοδος δίνει αναλυτική έκφραση των ζητούμενων συντελεστών κάθε τάξης, σε κλειστή μορφή. Στη συνέχεια, τα βήματα του αλγορίθμου ενοποιήθηκαν δίνοντας ένα γενικό τύπο στην περίπτωση του μαλακού σφαιρικού σκεδαστή, η οποία παρέχει άμεσα τους ζητούμενους συντελεστές οποιασδήποτε τάξης, χωρίς την ανάγκη υπολογισμού των συντελεστών μικρότερης τάξης. Η μέθοδος είναι άμεσα υλοποιήσιμη σε περιβάλλον μαθηματικού λογισμικού. Στο τελευταίο τμήμα της διατριβής, η μέθοδος επεκτάθηκε σε μη διαπερατούς σκεδαστές αυθαίρετης γεωμετρίας με επαρκώς ομαλό σύνορο. Σε αυτή την περίπτωση κατασκευάστηκε αλγόριθμος με τον οποίο, ο κάθε συντελεστής σκέδασης χαμηλών συχνοτήτων υπολογίζεται μέσω της αριθμητικής επίλυσης μιας ολοκληρωτικής εξίσωσης τύπου Fredholm δευτέρου είδους, γραμμική και ομαλή, είτε μιας ολοκληρωτικής αναπαράστασης, στο χώρο μεταξύ του σκεδαστή και της εγγυτάτης σφαίρας που τον περιβάλλει, όπου ο εμπλεκόμενος ολοκληρωτικός τελεστής είναι γραμμικός, ομαλός και φραγμένος. Σε κάθε περίπτωση, ο ολοκληρωτικός πυρήνας είναι σφαιρική αρμονική συνάρτηση, τάξης μικρότερης ή ίσης με τον ζητούμενο συντελεστή χαμηλών συχνοτήτων, επιτρέποντας την εφαρμογή αναλυτικών ή αριθμητικών μεθόδων για την επίλυσή της αντίστοιχης εξίσωσης σε ευρεία κλάση σκεδαστών ρεαλιστικού σχήματος. Ο αλγόριθμος εφαρμόστηκε στην εκφυλισμένη περίπτωση του σφαιρικού σκεδαστή και αναπαρήγαγε τα γνωστά αποτελέσματα ως επαλήθευση της ακρίβειάς του.