Αλγοριθμικές διαδικασίες ως κύρια μαθηματική γνώση: διδασκαλία και μάθησή τους στο δημοτικό σχολείο

Abstract

Algorithms are a main and essential part of procedural knowledge in Mathematics. Indeed, Mathematics, in a broad sense, is only algorithms. Algorithms, according to the modern conceptual definition, do not have the meaning of exclusively standardized procedures, such as performing arithmetic operations, but all sequences of well-defined, finite steps (commands or actions) that may be repeated, which define ways so as to complete successfully a particular process. An algorithm is a methodical set of steps that can be used to perform operations, solve problems and make decisions. An algorithm is not a specific calculation, but the method used when making the calculation. However, in Primary Education, the definition of algorithm is restricted, since only standardized procedures, in order to perform the four arithmetic operations, are considered as algorithms. The "mathematical" algorithm differs from the "computational-symbolic" algorithm, as the latter is determined by its computer applicability, where each step must be precisely defined so that it can be described by a programming language and then performed by a computer. Nowadays, it is believed that algorithms are the keys to deciphering the universe and revealing its hidden secrets, as the step-by-step dynamics of algorithms manage to manipulate the deluge of information of our era, enabling humankind to carry out unthinkable, supernatural and unreal mental exceedances. This fact may justify the current prestigious position of algorithms as a scientific tool, but it also highlights their importance as critical mathematical knowledge. The present PhD thesis is a study on the “mathematical” algorithm and it is divided into two parts, in accordance with the two phrases of its title. The first part is devoted to algorithmic procedures, as main mathematical knowledge, while the second one focuses on the teaching and learning of algorithms in Primary Education. The first part, aiming at the improvement of the teaching and learning of algorithms and having taken advantage of the important role of the history of Mathematics in improving its teaching and learning, examines many factors which have a decisive impact on the teaching practices adopted in schools. Its purpose is, through the rich scientific, didactic and historical material presented, the students (as well as the teachers) of the Primary School and the Compulsory Education, in general, to benefit in terms of cognition, learning and pedagogy, perceiving, at the same time, the importance and centrality of teaching algorithmic procedures. The low level of popularity of the Mathematics as a school subject, the conceptual delimitation, the characteristics and properties of the algorithm, the Euclidean algorithm, the numerous types of algorithms, elementary or non-elementary (with particular emphasis on those algorithms relating to prime numbers and factorization), as well as the first, historically, non-trivial algorithm consist the first chapters of this doctoral thesis. Extensive reference is also made to categorizing of P and NP decision problems. In addition, many parameters and algorithmic steps, which are related to problem solving as well as to problems that can be solved algorithmically, are taken into consideration. Algorithmic problem solving is a challenging educational process, as it can offer effective solutions to many similar mathematical and non-mathematical problems. Furthermore, a lot of the most common problems that have been faced and remained unresolved for centuries, which have been solved by a computer, using relevant algorithms, computer programs and exhaustive calculations, are presented and discussed in detail. Moreover, within a purely historical context, a 4,000-year-old path to date is recorded, and two ancient algorithms, which exploit errors and solve almost all the word problems, are examined. The Egyptian and Babylonian algorithm of simple false position requires a trial and solves problems that result in a first degree equation without a constant term, while the Chinese algorithm of double false position requires two trials and solves problems that result in a first degree equation with a constant term. Thereafter, many archaic additive, non-place-valued number systems are studied, as well as the current place-valued Hindu-Arabic number system which prevailed during the Renaissance, ending an idiotic controversy of more than 500 years in medieval times, between Abacists and Algorists. Up next, crucial historical snapshots of a 1,200-year-old period, are cited. The etymology of the terms «algorism» and «algorithm», as well as the path of the conception of the algorithm from the era of (its godfather) Al-Khwarizmi, until the 20th century, are the main branches of this rich course. In the second part of this thesis, many of the factors that shape the teaching, pedagogical and learning climate, concerning the teaching of algorithms in Primary Education, are initially examined, with the main focus being on the algorithms of the four basic arithmetic operations. Subsequently, it is researched, through qualitative content analysis, the pedagogical and scientific quality and contribution of all six current Primary Education mathematics textbooks on the presentation and teaching of algorithms. In general, it has been found that the series of the six Primary Education mathematics textbooks meet several pedagogical and didactic specifications and do not abstain from modern scientific perceptions as far as the presentation and study of algorithms is concerned, with the exception of the almost zero reference to the word as a mathematical term. Lastly, in the final chapters of this PhD thesis, the main body of the research is presented. The main purpose of the quantitative research, which was conducted through a questionnaire, with 614 Primary Education teachers as subjects, was to examine teachers' views on the quality of current mathematics textbooks in Primary Education as well as the role, value and learning contribution of algorithmic procedures (of all types) and the way they are taught and learned in Primary Education. Some critical educational aspects, such as teachers’ training and views on how their students perceive Mathematics as a Primary Education subject, have also been some parts of this research. By reading and interpreting the results of the survey it has been found that the teachers’ beliefs were almost in line with the prevailing pedagogical and teaching theories. The only differences in the beliefs of the sample of teachers focus on the lack of awareness of the necessary multimodality that should rule the teaching and learning of algorithms (especially the value of using calculators, as an important cognitive and mediating tool in Mathematics, is too undervalued). In addition, the decline in teaching of standard, traditional written algorithms, for the benefit of cultivating and developing invented alternative strategies, does not seem to be a teaching priority for teachers yet. Overall, there was also an unequivocal rejection of the current Primary Education mathematics textbooks in terms of their contribution to the teaching and learning of all ways of performing arithmetic algorithms. Finally, the majority of the sample of the teachers’ beliefs admits that Primary School teachers have didactic and cognitive shortcomings regarding the subject of Mathematics in upper grade classes. Furthermore, teachers consider that the in-service training provided to them, concerning the use of current mathematics textbooks, was ineffective.

Οι αλγόριθμοι αποτελούν κύριο και ουσιώδες κομμάτι της διαδικαστικής γνώσης στα Μαθηματικά. Μάλιστα, τα Μαθηματικά, υπό μία διασταλτική έννοια, είναι μόνο αλγόριθμοι. Ως αλγόριθμοι, σύμφωνα με τον σύγχρονο εννοιολογικό προσδιορισμό τους, δε λογίζονται, αποκλειστικά, οι τυποποιημένες διαδικασίες, όπως η εκτέλεση αριθμητικών πράξεων, αλλά όλες οι ακολουθιακές σειρές, καλά ορισμένων, πεπερασμένων βημάτων (εντολών ή ενεργειών) που μπορεί να επαναλαμβάνονται, οι οποίες καθορίζουν τρόπους επιτυχούς ολοκλήρωσης μιας συγκεκριμένης διεργασίας. Ένας αλγόριθμος είναι μια μεθοδική σειρά βημάτων, η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην εκτέλεση υπολογισμών, την επίλυση προβλημάτων και τη λήψη αποφάσεων. Ένας αλγόριθμος δεν είναι ένας συγκεκριμένος υπολογισμός, αλλά η μέθοδος που ακολουθείται κατά τον υπολογισμό. Ωστόσο, στην Πρωτοβάθμια Εκπαίδευση, ο ορισμός του αλγόριθμου είναι ψαλιδισμένος, καθότι ως αλγόριθμοι θεωρούνται, κατά βάση, μόνο οι τυποποιημένες διαδικασίες, κατά την εκτέλεση των τεσσάρων πράξεων της Αριθμητικής. Ο «μαθηματικός» αλγόριθμος διαφέρει από τον «υπολογιστικό-συμβολικό», καθώς τον δεύτερο τον καθορίζει η δυνατότητα εφαρμοσιμότητάς του σε έναν υπολογιστή, όπου κάθε βήμα πρέπει να είναι ορισμένο επακριβώς, ώστε να μπορεί να περιγραφεί από μια γλώσσα προγραμματισμού και να εκτελεστεί, κατόπιν, από μια μηχανή. Σήμερα, πιστεύεται ότι οι αλγόριθμοι είναι τα κλειδιά για την αποκωδικοποίηση του σύμπαντος και τη φανέρωση των κρυμμένων μυστικών του, αφού η βηματική δυναμική των αλγόριθμων καταφέρνει να δαμάζει τις καταιγιστικές πληροφορίες των ημερών μας, επιτρέποντας στην ανθρωπότητα να πραγματοποιεί ασύλληπτες, υπερφυσικές και εξωπραγματικές νοητικές υπερβάσεις. Το γεγονός αυτό δικαιολογεί, ενδεχομένως τη σημερινή περίβλεπτη θέση των αλγόριθμων, ως επιστημονικού εργαλείου, αλλά και επιβεβαιώνει τη σημαντικότητα των αλγόριθμων, ως κρίσιμης μαθηματικής γνώσης. Η παρούσα διατριβή, μελετά τον «μαθηματικό» αλγόριθμο και χωρίζεται σε δυο μέρη, ακριβώς αντίστοιχα των δυο φράσεων του τίτλου της. Το πρώτο μέρος είναι αφιερωμένο στις αλγοριθμικές διαδικασίες, ως κύριας μαθηματικής γνώσης, ενώ το δεύτερο εστιάζεται στη διδασκαλία και μάθηση των αλγόριθμων στο Δημοτικό Σχολείο. Το πρώτο μέρος, στο πλαίσιο βελτίωσης της διδασκαλίας και μάθησης των αλγόριθμων, αξιοποιώντας και τον σημαντικό ρόλο της ιστορίας των Μαθηματικών στη βελτίωση της διδασκαλίας και της μάθησης των Μαθηματικών, εξετάζει πολλούς παράγοντες (που αφορούν στον αλγόριθμο), οι οποίοι επηρεάζουν, καθοριστικά, τις υιοθετούμενες διδακτικές πρακτικές στα σχολεία. Σκοπός του είναι, μέσα από το πλούσιο παρατιθέμενο επιστημονικό, διδακτικό και ιστορικό υλικό, οι μαθητές (αλλά και οι δάσκαλοι) του Δημοτικού Σχολείου και της Υποχρεωτικής Εκπαίδευσης γενικότερα, να ωφεληθούν γνωστικά, μαθησιακά και παιδαγωγικά, αντιλαμβανόμενοι, ταυτόχρονα, τη σπουδαιότητα και την κομβικότητα της διδασκαλίας των αλγοριθμικών διαδικασιών. Η ισχνή δημοφιλία των Μαθηματικών, ως σχολικού μαθήματος, η εννοιολογική οριοθέτηση, τα χαρακτηριστικά και οι ιδιότητες του αλγόριθμου, ο αλγόριθμος του Ευκλείδη, τα πολλά είδη αλγόριθμων, στοιχειωδών ή μη (με ιδιαίτερη βαρύτητα σε όσους αλγόριθμους αφορούν στους πρώτους αριθμούς και την παραγοντοποίηση), όπως και ο πρώτος, ιστορικά, μη τετριμμένος αλγόριθμος αποτελούν τα πρώτα κεφάλαια της διδακτορικής διατριβής. Επίσης, εκτενής αναφορά γίνεται και στην κατηγοριοποίηση των P και NP προβλημάτων απόφασης. Στη συνέχεια, εξετάζονται πολλές παράμετροι και αλγοριθμικά βήματα, που αφορούν στην επίλυση προβλημάτων αλλά και προβλημάτων που επιδέχονται και αλγοριθμική λύση. Η αλγοριθμική επίλυση προβλημάτων προβάλλει ως μια προ-κλητική εκπαιδευτική διαδικασία, καθώς μπορεί να προσφέρει αποτελεσματικές λύσεις, σε πολλά ομοειδή μαθηματικά και μη προβλήματα. Επίσης, παρουσιάζονται και εξετάζονται, ενδελεχώς, και πολλά (κλασικά) προβλήματα, άλυτα για αιώνες, που επιλύθηκαν, μέσω υπολογιστή, με την αξιοποίηση σχετικών αλγόριθμων, υπολογιστικών προγραμμάτων και εξαντλητικών υπολογισμών. Ακολούθως, σε καθαρά ιστορικό πλαίσιο καταγράφεται μια διαδρομή 4.000 χρόνων, μέχρι τις μέρες μας, και εξετάζονται δυο αρχαίοι αλγόριθμοι, οι οποίοι αξιοποιούν σφάλματα και επιλύουν όλα, σχεδόν, τα προβλήματα της λεγόμενης Πρακτικής Αριθμητικής. Ο αιγυπτιακός και βαβυλωνιακός αλγόριθμος της απλής λαθεμένης παραδοχής, απαιτεί μια δοκιμή και επιλύει τα προβλήματα της Αριθμητικής που καταλήγουν σε εξίσωση πρώτου βαθμού χωρίς σταθερό όρο, ενώ ο κινεζικός αλγόριθμος της διπλής λαθεμένης παραδοχής, χρειάζεται δυο δοκιμές και επιλύει προβλήματα της Αριθμητικής που καταλήγουν σε εξίσωση πρώτου βαθμού με σταθερό όρο. Κατόπιν, μελετώνται πολλά αρχαϊκά προσθετικά αριθμητικά συστήματα, αλλά και το τρέχον θεσιακό ινδοαραβικό, του οποίου η επικράτηση σημειώθηκε στα χρόνια της Αναγέννησης, αφού τερματίστηκε μια ανόητη διαμάχη, στα χρόνια του Μεσαίωνα, μεταξύ Αβακιστών και Αλγορι(θμι)στών. Στη συνέχεια, αναφέρονται κρίσιμα ιστορικά στιγμιότυπα μιας περιόδου 1.200 χρόνων. Η ετυμολόγηση των όρων «αλγορισμός» και «αλγόριθμος», καθώς και η πορεία της εννοιολόγησης του αλγόριθμου από την εποχή του (αναδόχου του) Αl-khwarizmi, μέχρι τον 20ό αιώνα, αποτελούν τους κύριους βραχίονες αυτής της πλούσιας διαδρομής. Στο δεύτερο μέρος της εργασίας διερευνώνται, αρχικά, πολλοί από τους παράγοντες που διαμορφώνουν το διδακτικό, παιδαγωγικό και μαθησιακό κλίμα, που αφορά στη διδακτική των αλγόριθμων στο Δημοτικό Σχολείο, με την κύρια στόχευση να επικεντρώνεται στους αλγόριθμους των τεσσάρων πράξεων της Αριθμητικής. Μετέπειτα, ερευνάται, μέσω ποιοτικής ανάλυσης περιεχομένου, η παιδαγωγική και επιστημονική ποιότητα και συνεισφορά και των έξι τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου, ως προς την παρουσίαση και τη διδασκαλία των αλγόριθμων. Γενικά, φάνηκε ότι η σειρά των έξι εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου πληροί αρκετές παιδαγωγικές και διδακτικές προδιαγραφές και δεν απέχει των σύγχρονων επιστημονικών αντιλήψεων, όσον αφορά στην παρουσίαση και τη μελέτη των αλγόριθμων, πλην της σχεδόν μηδενικής αναφοράς της λέξης ως μαθηματικού όρου. Ακολούθως, στα τελευταία κεφάλαια της διατριβής, παρουσιάζεται το κυρίως ερευνητικό κομμάτι της. Κύριος σκοπός της ποσοτικής έρευνας, που διενεργήθηκε μέσω ερωτηματολογίου, με υποκείμενα 614 δασκάλους ΠΕ70 της Πρωτοβάθμιας Εκπαίδευσης, υπήρξε η διερεύνηση των απόψεων των εκπαιδευτικών, όσον αφορά στην ποιότητα των τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών στο Δημοτικό Σχολείο αλλά και τον ρόλο, την αξία και τη μαθησιακή συνεισφορά των αλγοριθμικών διαδικασιών (όλων των τύπων) και τον τρόπο διδασκαλίας και μάθησής τους στο Δημοτικό Σχολείο. Επίσης, και κάποιες κρίσιμες εκπαιδευτικές παράμετροι, όπως η επιμόρφωση των εκπαιδευτικών, καθώς και οι απόψεις των εκπαιδευτικών για το πώς θεωρούν ότι οι μαθητές τους αντιλαμβάνονται τα Μαθηματικά ως μάθημα του Δημοτικού Σχολείου, υπήρξαν ενότητες της παρούσας έρευνας. Η ανάγνωση και ερμηνεία των αποτελεσμάτων κατέδειξε ότι οι απαντήσεις των εκπαιδευτικών του δείγματος σχεδόν ευθυγραμμίζονται με τις κρατούσες παιδαγωγικές και διδακτικές θεωρίες. Οι μόνες διαφοροποιήσεις, στις πεποιθήσεις των εκπαιδευτικών του δείγματος, εστιάζονται στη μη συνειδητοποίηση της απαραίτητης πλουραλιστικότητας-πολυτροπικότητας που πρέπει να διέπει τη διδασκαλία και τη μάθηση των αλγόριθμων (ειδικά η αξία της χρήσης των αριθμομηχανών, ως ενός σημαντικού γνωστικού και διαμεσολαβητικού εργαλείου στο μάθημα των Μαθηματικών, είναι πολύ υποτιμημένη). Επίσης, η υποβάθμιση της διδασκαλίας των τυπικών, παραδοσιακών γραπτών αλγόριθμων, προς όφελος της καλλιέργειας και ανάπτυξης επινοημένων εναλλακτικών στρατηγικών, δε φαίνεται ότι αποτελεί, ακόμη, διδακτική προτεραιότητα για τους δασκάλους. Γενικά, παρατηρήθηκε και μια συλλήβδην απόρριψη των τρεχόντων εγχειριδίων των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείο, όσον αφορά στη συμβολή τους στη διδασκαλία και μάθηση όλων των τρόπων εκτέλεσης των αλγόριθμων της Αριθμητικής. Τέλος, το μεγαλύτερο ποσοστό των εκπαιδευτικών του δείγματος παραδέχεται ότι οι δάσκαλοι του Δημοτικού Σχολείου έχουν διδακτικές και γνωστικές ελλείψεις στα Μαθηματικά των μεγάλων τάξεων, ενώ θεωρεί και αναποτελεσματική την επιμόρφωση, που παρακολούθησε, η οποία αφορούσε στα τρέχοντα διδακτικά πακέτα των Μαθηματικών του Δημοτικού Σχολείου.