Μελέτη των ιδιοτήτων των τροχιών γύρω από μελανές οπές Kerr με τη χρήση νευτώνειων αναλόγων

Abstract

This PhD thesis aims to demonstrate the similarity of a particular Newtonian gravitational field, namely the gravitational field of Euler produced by two point masses, at a fixed distance from each other, with the gravitational field of a Kerr black hole. The purpose of this study is to use this similarity to study difficult orbital characteristics in a Kerr black hole, by analyzing corresponding orbits in the analogous Newtonian gravitational field. We have studied this particular Newtonian gravitational field, by Hamilton-Jacobi method, in order to separate it in appropriate coordinates and construct the three integrals of motion corresponding to this problem. Subsequently, we identified the similarity of the potentials that govern the radial and polar motion of the orbits at Euler and Kerr potential. Next, we followed the method of action angle variables to detect the fundamental frequencies of the orbits in Kerr metric, in order to calculate for each orbit with specific orbital characteristics the corresponding fundamental frequencies that characterize the orbit. These frequencies are the directly observed quantities in the case of Kerr black holes when the orbits are associated with the emission of gravitational waves radiated from such a source.Next, we prove that some particular characteristics of Kerr orbits show up in the Euler problem, as well. Namely, the fact that there are pairs of completely different orbits characterized by the exactly the same set of frequencies. Finally, we have studied the stability of spherical orbits (orbits with zero eccentricity) under the act of a dissipative force, corresponding to the self-force of relativistic orbits when the gravitational radiation of the orbiting body is taken into account. In Kerr case, no initial conditions suitable for such resonance were found. However, in the Euler field, suitable initial conditions were found that satisfy the required resonance condition. These orbits, though initially spherical, become eccentric over time. In fact, we have managed to build a theoretical model which interprets the evolution of the initially spherical orbits, whether or not they meet a resonance.

Η παρούσα διατριβή έχει σκοπό να διερευνήσει την ομοιότητα που παρουσιάζει ένα συγκεκριμένο Νευτώνειο βαρυτικό πεδίο, και συγκεκριμένα το βαρυτικό πεδίο του Euler που δημιουργείται από δύο σημειακές μάζες που βρίσκονται σε σταθερή απόσταση η μία από την άλλη, με το βαρυτικό πεδίο μιας μελανής οπής Kerr. Ο απώτερος σκοπός αυτής της μελέτης είναι να χρησιμοποιηθεί αυτή η ομοιότητα, προκειμένου να μελετηθούν δύσκολα χαρακτηριστικά των τροχιών σε μια μελανή οπή Kerr, μέσω της ανάλυσης αντίστοιχων τροχιών στο ανάλογο Νευτώνειο βαρυτικό πεδίο. Μελετήσαμε το συγκεκριμένο Νευτώνειο βαρυτικό πεδίο, με τη μέθοδο των Hamilton-Jacobi προκειμένου να διαχωριστεί σε κατάλληλες συντεταγμένες (πεπλατυσμένες σφαιροειδείς) και να κατασκευάσουμε τα τρία ολοκλήρωματα της κίνησης που αντιστοιχούν στο πρόβλημα αυτό. Ακολούθως, εντοπίσαμε τις ομοιότητες των δυναμικών που ελέγχουν την ακτινική και την πολική κίνηση των τροχιών στο δυναμικό του Euler και της Kerr. Στη συνέχεια ακολουθήσαμε τη μέθοδο ανάλυσης σε μεταβλητές γωνίας-δράσης που χρησιμοποιούνται για την ανεύρεση των θεμελιωδών συχνοτήτων των τροχιών στη μετρική Kerr, προκειμένου να υπολογίσουμε για κάθε τροχιά με συγκεκριμένα τροχιακά χαρακτηριστικά, τις αντίστοιχες θεμελιώδεις συχνότητες που χαρακτηρίζουν την τροχιά αυτή. Οι συχνότητες αυτές είναι το άμεσα παρατηρήσιμο μέγεθος στην περίπτωση των μελανών οπών Kerr στην περίπτωση που οι τροχιές συνδέονται με την εκπομπή κάποιου βαρυτικού κύματος που εκπέμπεται από την εν λόγω πηγή. Στη συνέχεια αποδεικνύουμε ότι και στο πρόβλημα του Euler, εμφανίζεται το ιδιαίτερο χαρακτηριστικό που εμφανίζουν οι τροχιές της Kerr: δηλαδή ότι υπάρχουν εντελώς διαφορετικές τροχιές που χαρακτηρίζονται από το ίδιο σύνολο συχνοτήτων. Τέλος μελέτησαμε την ευστάθεια των σφαιρικών τροχιών κάτω από την επίδραση μικρών αναλωτικών δυνάμεων πέραν της βαρύτητας, αντίστοιχων με τις ιδιοδυνάμεις που αναπτύσσονται στις σχετικιστικές τροχιές, όταν η βαρυτική ακτινοβολία του σώματος σε τροχιά ληφθεί υπόψη. Στην περίπτωση της Kerr δεν βρέθηκαν αρχικές συνθήκες κατάλληλες για τέτοιου είδους συντονισμούς. Στο πεδίο του Euler, όμως, βρήκαμε κατάλληλες αρχικές συνθήκες που να ικανοποιούν την απαιτούμενη συνθήκη συντονισμού. Οι τροχιές αυτές, αν και αρχικά σφαιρικές, καθίστανται έκκεντρες με την πάροδο του χρόνου. Μάλιστα, κατασκευάσαμε ένα θεωρητικό μοντέλο που ερμηνεύει την εξέλιξη των αρχικά σφαιρικών τροχιών, είτε αυτές υπόκεινται σε συντονισμό, είτε όχι.