On the solvability and the inviscid limit of Cauchy problems for certain classes of the nonlinear Schrödinger equation

Abstract

The non-linear (in particular the semi-linear) Schrödinger equation, very often referred to by the acronym NLSE, is a universal model describing the evolution of complex field envelopes in non-linear dispersive media; it appears in a variety of physical contexts, ranging from optics to fluid dynamics and plasma physics, and it has attracted a huge interest from the rigorous mathematical analysis point of view, as well. In this doctoral thesis, we are interested in two problems involving the NLSE. The first one is the quest for and the study of a special type of solutions of the defocusing NLSE which do not vanish at the spatial extremity. The second one is the study of the inviscid limit of the linearly damped and driven NLSE.

Η μη-γραμμική (για την ακρίβεια η ημι-γραμμική) εξίσωση Schrödinger, γνωστή με το αρκτικόλεξο NLSE, είναι ένα καθολικό μοντέλο για την περιγραφή της εξέλιξης της περιβάλλουσας σε μη-γραμμικά διασκορπιστικά μέσα· εμφανίζεται δε σε μία ποικιλία φυσικών εφαρμογών, από την οπτική μέχρι την δυναμική των ρευστών και την φυσική του πλάσματος, και έχει επίσης προσελκύσει τεράστιο ενδιαφέρον από την σκοπιά της αυστηρής μαθηματικής ανάλυσης. Στην παρούσα διατριβή, ενδιαφερόμαστε για δύο προβλήματα που αφορούν την NLSE. Το πρώτο είναι η αναζήτηση και η μελέτη συγκεκριμένου τύπου λύσεων της αφεστιάζουσας NLSE οι οποίες δεν εξαφανίζονται στα χωρικά όρια. Το δεύτερο είναι η μελέτη του ορίου εξάλειψης ιξώδους της γραμμικά φθίνουσας και εξαναγκασμένης NLSE.