Συναρτησιακές ανισότητες και εφαρμογές σε προβλήματα κυρτής και στοχαστικής γεωμετρίας

Abstract

Using geometric and analytic methods we prove functional inequalities with applications to convex and stochastic geometry.1.Inequalities for the volume of sections and projections of convex bodies. We prove restricted versions of the Loomis-Whitney inequality and of the uniform cover inequality of Bollobas and Thomason. We generalize these results in the context of mixed volumes and provide applications to related conjectures of Hug-Schneider and Soprunov-Zvavitch. Starting from the dual Loomis-Whitney inequality of Meyer we study the dual problem for sections and, using the theory of Lp-centroid bodies, we prove the corresponding restricted versions of Meyer’s inequality. We discuss the relation of the multidimensional generalization of the geometric Brascamp-Lieb inequality and of the multi- dimensional reverse Brascamp-Lieb inequality, due to Barthe, with the Loomis-Whitney inequality, the uniform cover inequality of Bollobas-Thomason and several of their generalizations. We show that all these inequalities can be obtained as consequences of the multidimensional Brascamp-Lieb inequality. Starting from this point of view and now using Barthe’s multidimensional Brascamp- Lieb inequality, we prove a new sharp inequality, the dual Bollob´as-Thomason inequality. This result is a consequence of a new functional inequality for log-concave functions.2. Functional and stochastic versions of isoperimetric inequalities. We present functional and stochas- tic versions of some isoperimetric inequalities for convex bodies. We concentrate on the approach of Paouris and Pivovarov, who used rearrangement inequalities and integral geometric formulas in order to extend to the more general context of continuous distributions a number of classical results such as Busemann’s random simplex inequality, the Busemann-Straus/Grinberg inequal-ity, the Blaschke-Santal´o inequality, inequalities for the volume of centroid bodies etc. The basic tools in this approach are the Rogers/Brascamp-Lieb-Luttinger inequality (and subsequent work of Christ) and Blaschke-Petkantschin type formulas from integral geometry. We provide an extension of the Busemann-Straus/Grinberg inequality for the volume of sections of bounded Borel sets. We also show that in the case of a convex body one can have reverse inequalities. Assuming that K is a symmetric convex body in Rn we show that a duality argument, based on the Blaschke-Santal´o inequality and the Bourgain-Milman inequality, leads to the corresponding inequality for the volume of projections of K. We also provide a direct proof which avoids the symmetry assumption. We also prove general functional inequalities that imply, as special cases, the functional versions of the geometric inequalities above.3. Estimates for the measure of sections of convex bodies. We discuss generalizations of the slicing problem and the Busemann-Petty, both in the classical context and in the more general context where volume is replaced by an arbitrary measure. This general study was initiated by Koldobsky for the slicing problem and by Zvavitch for the Busemann-Petty problem. Our approach is different and is based on Blaschke-Petkantschin type formulas and asymptotic estimates for the dual affine quermassintegrals. Our method often allows us to remove the symmetry and convexity assumptions on the bodies as well as the assumptions on the continuity of the densities of the measures involved.4. Remarks on the M -estimate for isotropic convex bodies. A convex body K in Rn is called isotropic if it has volume voln(K) = 1, its center of mass is at the origin, and its matrix of inertia is a multiple of the identity: there exists a constant LK > 0 such that∫ (x, θ)^2 dx = (LK)^2 for all θ in the Euclidean unit sphere Sn−1. The question to give an upper bound for the mean width w(K) of an isotropic convex body was open for a number of years and was finally answered by E. Milman who showed that for any isotropic convex body K in Rn one has w(K) = C n(log n)^2LK. The dependence on n is optimal if we ignore the logarithmic term. The dual problem, to give an upper bound for the L1-norm of the Minkowski functional of K, when K is a symmetric isotropic convex body, is open: the best known upper bound is due to Giannopoulos and E. Milman. We discuss a reduction of the problem that leads to new, interesting in our opinion, questions on the geometry of lower dimensional sections and projections of isotropic convex convex bodies. We discuss these questions and provide some first estimates.

Χρησιµοποιώντας γεωµετρικές και αναλυτικές µεθόδους αποδεικνύουµε συναρτησιακές ανισότητες και παρουσιάζουµε εφαρµογές τους στην κυρτή και στοχαστική γεωµετρία.1.Ανισότητες για τον όγκο τοµών και προβολών κυρτών σωµάτων. Αποδεικνύουµε περιορισµένες εκδοχές της ανισότητας Loomis-Whitney και της ανισότητας οµοιόµορφου καλύµµατος των Bollobas και Thomason. Γενικεύουμε αυτά τα αποτελέσµατα στο πλαίσιο των µεικτών όγκων και παίρνουµε ως εφαρµογή νέες εκτιµήσεις για σχετικές εικασίες των Hug-Schneider και Soprunov-Zvavitch. Ξεκινώντας από την δυϊκή ανισότητα Loomis-Whitney του Meyer µελετάµε το δυϊκό πρόβληµα για τοµές και, χρησιµοποιώντας την θεωρία των Lp-κεντροειδών σωµάτων, αποδεικνύουµε τις αντίστοιχες περιορισµένες εκδοχές της ανισότητας του Meyer. Συζητάµε την σχέση της πολυδιάστατης γενίκευσης της γεωµετρικής ανισότητας Brascamp-Lieb και της πολυδιάστατης αντίστροφης ανισότητας Brascamp- Lieb (που οφείλεται στον Barthe) µε την ανισότητα Loomis-Whitney, την ανισότητα οµοιόµορφου καλύµµατος των Bollobas-Thomason και διάφορες γενικεύσεις τους. Αποδεικνύουµε ότι όλες αυτές οι ανισότητες προκύπτουν από την πολυδιάστατη ανισότητα Brascamp-Lieb. Ξεκινώντας από αυτήν την οπτική και έχοντας αυτή τη φορά ως εργαλείο την πολυδιάστατη αντίστροφη ανισότητα Brascamp- Lieb του Barthe, αποδεικνύουµε µια νέα ανισότητα, την δυϊκή ανισότητα Bollobas-Thomason. Το αποτέλεσµα αυτό προκύπτει από µια νέα συναρτησιακή ανισότητα για λογαριθµικά κοίλες συναρτήσεις.2.Συναρτησιακές και στοχαστικές εκδοχές ισοπεριµετρικών ανισοτήτων. Παρουσιάζουµε συναρτησιακές και στοχαστικές εκδοχές κάποιων ισοπεριµετρικών ανισοτήτων για κυρτά σώµατα. Επικεντρωνόµαστε στην προσέγγιση των Παούρη και Pivovarov, οι οποίοι χρησιµοποίησαν ανισότητες αναδιάταξης και ταυτότητες από την ολοκληρωτική γεωµετρία για να επεκτείνουν στο γενικότερο πλαίσιο των συνεχών κατανοµών διάφορα κλασσικά αποτελέσµατα όπως η ανισότητα του Busemann για τυχαία simplices, η ανισότητα Busemann-Straus/Grinberg, η ανισότητα Blaschke-Santalo, ανισότητες για τον όγκο κεντροειδών σωµάτων και άλλες. Τα βασικά εργαλεία σε αυτήν την προσέγγιση είναι η ανισότητα Rogers/Brascamp-Lieb-Luttinger (και µεταγενέστερη δουλειά του Christ) και ταυτότητες τύπου Blaschke-Petkantschin από την ολοκληρωτική γεωµετρία. Αποδεικνύουµε µια επέκταση της ανισότητας Busemann-Straus/Grinberg για φραγµένα Borel σύνολα. Δείχνουµε επίσης ότι στην περίπτωση που το K είναι κυρτό σώµα, ισχύει και αντίστροφη ανισότητα. Αν υποθέσουµε ότι το K είναι συµµετρικό κυρτό σώµα στον Rn τότε ένα επιχείρηµα δυϊσµού, το οποίο βασίζεται στην ανισότητα Blaschke-Santalo και την ανισότητα Bourgain-Milman, οδηγεί σε αντίστοιχες ανισότητες για τον όγκο των προβολών του K. Δίνουµε και ευθεία απόδειξη, χωρίς να υποθέσουµε την συµµετρία του σώµατος. Αποδεικνύ- ουµε επίσης γενικές συναρτησιακές ανισότητες, ειδικές περιπτώσεις των οποίων είναι οι συναρτησιακές εκδοχές των παραπάνω γεωµετρικών ανισοτήτων.3.Εκτιµήσεις για µέτρα τοµών κυρτών σωµάτων. Συζητάµε γενικεύσεις του «προβλήµατος των τοµών» και του προβλήµατος Busemann-Petty, τόσο στο κλασσικό πλαίσιο όσο και στο γενικευµένο πλαίσιο όπου τυχόν µέτρο αντικαθιστά τον όγκο, ένα πλαίσιο το οποίο µελετήθηκε αρχικά από τον Koldobsky για το πρόβλημα των τοµών και από τον Zvavitch για το πρόβλημα Busemann-Petty. Η προσέγγισή µας είναι διαφορετική και βασίζεται σε ολοκληρωτικές ταυτότητες τύπου Blaschke-Petkantschin και ασυµπτωτικές εκτιµήσεις για τα δυϊκά αφφινικά quermassintegrals. Η µέθοδος που εισάγουµε µας επιτρέπει, συχνά, να αφαιρέσουµε τις υποθέσεις της συµµετρίας και κυρτότητας των σωµάτων, καθώς και της συνέχειας της πυκνότητας του µέτρου.4.Παρατηρήσεις για την M -παράµετρο ισοτροπικών κυρτών σωµάτων. Ένα κυρτό σώµα K στον Rn λέγεται ισοτροπικό αν έχει όγκο voln(K) = 1, το κέντρο βάρους του είναι στην αρχή των αξόνων, και ο πίνακας αδρανείας του είναι πολλαπλάσιο του ταυτοτικού πίνακα: υπάρχει µια σταθερά LK > 0 τέτοια ώστε∫ (x, θ)^2 dx = (LK)^2για κάθε θ στην Ευκλείδεια µοναδιαία σφαίρα Sn−1. Το ερώτηµα να δοθεί άνω φράγµα για το µέσο πλάτος w(K) ενός ισοτροπικού κυρτού σώµατος ήταν ανοικτό για αρκετά χρόνια και, τελικά, απαντή- θηκε από τον E. Milman ο οποίος απέδειξε ότι αν K είναι ένα ισοτροπικό κυρτό σώµα στον Rn τότε w(K) = C n(log n)^2LK. Η εξάρτηση από το n είναι βέλτιστη αν εξαιρέσουµε τον λογαριθµικό παρά- γοντα. Το δυϊκό πρόβληµα, να δοθεί άνω φράγµα για την αντίστοιχη L1-νόρµα του συναρτησοειδούςMinkowski του K, όταν το K είναι συµµετρικό ισοτροπικό κυρτό σώµα, είναι ανοικτό: η καλύτερη γνωστή εκτίµηση οφείλεται στους Γιαννόπουλο και E. Milman. Περιγράφουµε µια αναγωγή του προβλήµατος, η οποία οδηγεί σε νέα, κατά την γνώµη µας ενδιαφέροντα, προβλήµατα για την γεωµετρία των χαµηλότερης διάστασης τοµών και προβολών των ισοτροπικών κυρτών σωµάτων. Συζητάµε αυτά τα προβλήµατα και δίνουµε κάποιες εκτιµήσεις.