Τοπολογικά φαινόμενα της γενικευμένης εξίσωσης Dirac σε διατάξεις φωτονικών πλεγμάτων

Abstract

The scope of this doctoral thesis covers the theoretical study of photonic periodic devices for the simulation of quantum topological phenomena through the generalized Dirac equation. The aim is to design the appropriate photonic structures, with targeted geometrical characteristics and periodic properties, to precisely modify the dynamics of light propagation. The study was based theoretically and numerically on the paraxial equation of electromagnetism and the approximate relations of the tight-binding model. In particular, through the description of the discrete model defined by the modes of the individual waveguides in the lattice, we reach an appropriate equivalence with the Dirac equation, which describes the dynamics of the fundamental relativistic free-space particles. In addition, through the appropriate modification of the properties of the individual waveguides, an attempt was made to break the basic symmetries of the quantum model and attain equivalence with a generalized form of the Dirac equation. This leads to the appearance of non-trivial phenomena such as the Dirac type II cones in the dispersion diagram. The structures designed for this purpose demonstrated great adaptability, and proved themselves very flexible in their ability to control all effective coupling terms in the discrete model and by extension all free variables of the generalised quantum model. Various phenomena are studied, both in continuous and infinite lattices as well as in terminated structures where the existence of edge modes is identified. The properties of these modes are extensively investigated and two notable effects are investigated, the ability to control the extend of the modes in the first Brillouin zone and the magnitude of dispersion for the Type-II case. The main objective of the final chapter is the incorporation of secondary characteristics through the theories of topology and PT symmetry. Through the appropriate splitting of the respective symmetries, both spatially in the propagation axis and temporally, phenomena such as zero damping in loss/gain structures and the appearance of unidirectional edge states emerge.

Η διατριβή διαπραγματεύεται την θεωρητική μελέτη φωτονικών περιοδικών διατάξεων για την προσομοίωση κβαντικών τοπολογκών φαινομένων μέσω της γενικευμένης εξίσωσης Dirac. Σκοπός αποτέλεσε η εξεύρεση και σχεδίαση των κατάλληλων φωτονικών δομών, με στοχευμένα γεωμετρικά χαρακτηριστικά και περιοδικές ιδιότητες, για την ακριβή τροποποίηση της μορφής του πεδίου κατά της διάδοσης σε αυτές. Η μελέτη βασίστηκε θεωρητικά στην εξίσωση της παραξονικής προσέγγισης του πεδίου και στις προσεγγιστικές σχέσεις του μοντέλου ισχυρής σύζευξης. Συγκεκριμένα, μέσω της περιγραφής του διακριτού μοντέλου που δημιουργείται από τα πλάτη των ρυθμών μεμονωμένων κυματοδηγικών διατάξεων επιτεύχθηκε η κατάλληλη ισοδυναμία με την εξίσωση Dirac που περιγράφει την δυναμική των θεμελιωδών ρελατιβιστικών σωματιδίων ελευθέρου χώρου. Ταυτόχρονα, μέσω της κατάλληλης τροποποίησης των ιδιοτήτων των επιμέρους δομών έγινε προσπάθεια διάσπασης των βασικών συμμετριών του κβαντικού μοντέλου με σκοπό την γενίκευση του και την εμφάνιση μη τετριμμένων φαινομένων όπως η εμφάνιση κώνων Dirac τύπου-ΙΙ στο διάγραμμα διασποράς. Οι δομές που δημιουργήθηκαν κατέδειξαν την μεγάλη προσαρμοστικότητα που τις χαρακτηρίζει, προσφέροντας την δυνατότητα προσομοίωσης ισοδύναμων φαινομένων από τους κλάδους της κβαντικής φυσικής και φυσικής στερεάς κατάστασης μέσω μίας εύκολα προσαρμοζόμενης οπτικής διάταξης. Στην διδακτορική διατριβή μελετούνται φαινόμενα διάδοσης τόσο σε συνεχή και άπειρα μέσα όσο και σε τερματισμένες διατάξεις σχεδιασμένες με στόχο την ανάδυση επιφανειακών ρυθμών. Η διαδικασία μελέτης στηρίζεται στην πλήρη ανάλυση των διαγραμμάτων διασποράς των επιμέρους δομών με στόχο την αναγνώριση των περιοχών μη τετριμμένης συμπεριφοράς που αναμένεται να εμφανιστούν λόγω της στοχευμένης σχεδίασης των διακριτών μοντέλων που τις χαρακτηρίζουν. Κεντρικός στόχος της διδακτορικής διατριβής αποτέλεσε και η ενσωμάτωση δευτερευουσών χαρακτηριστικών μέσω των θεωριών της τοπολογίας και της PT συμμετρίας. Μέσω της κατάλληλης διάσπασης των συμμετριών αμοιβαιότητας, τόσο χωρικά όσο και χρονικά, εμφανίστηκαν φαινόμενα όπως η απολύτως μηδενική απόσβεση και η εμφάνιση μονοκατευθηντικών ρυθμών, που αποτέλεσαν και τους επιθυμητούς στόχους σχεδίασης.