The fermion - boson map at imaginary chemical potential in odd dimensions

Abstract

The aim of this thesis was the thermodynamic study of a fermionic and a bosonic model of charged particles at finite temperature and imaginary chemical potential, using a large N approximation method. For specific values of the chemical potential, we found statistical transmutations in which the free energy function has one or more extrema. Initially we presented the construction of the phase states of the models in three dimensions with the help of appropriate special functions and we noted possible relationships of our results with parts of the hyperbolic geometry related to the three-dimensional gravity. We also showed accurate duality relationships between the models and then we studied their possible applications in crystallography as well as an extension of calculations to higher odd dimensions for a small area of the phase diagram. We have found that the generalization of our theory in higher dimensions is possible as corresponding properties with lower dimensional physics appear within certain thermal windows of bosonization/fermionization. In all of the above, the dimension of our models was a useful parameter that, to a great extent, leads us to already known natural phenomena and results. Finding the zeros and maxima of specific functions of hyperbolic geometry was a particular and highly accurate result, and their use ultimately led us to a new hypothesis that emerges as a generalized quasicrystals particle scattering law.

Σκοπός της διατριβής ήταν η θερμοδυναμική μελέτη ενός φερμιονικού και ενός μποζονικού μοντέλου φορτισμένων σωματιδίων σε πεπερασμένη θερμοκρασία και φανταστικό χημικό δυναμικό, χρησιμοποιώντας μία προσέγγιση για μεγάλο Ν. Για συγκεκριμένες τιμές του χημικού δυναμικού βρήκαμε στατιστικές μεταβάσεις κατά τις οποίες η συνάρτηση ελεύθερης ενέργειας παρουσιάζει ακρότατα. Αρχικά παρουσιάσαμε την κατασκευή των καταστάσεων φάσης των μοντέλων στις τρεις διαστάσεις με τη βοήθεια κατάλληλων ειδικών συναρτήσεων και σημειώσαμε πιθανές σχέσεις των αποτελεσμάτων μας με κομμάτια της υπερβολικής γεωμετρίας που έχουν σχέση με την τρισδιάστατη βαρύτητα. Ακόμα παρουσιάσαμε ακριβείς σχέσεις δυαδικότητας μεταξύ των μοντέλων και στη συνέχεια μελετήσαμε πιθανές εφαρμογές τους στην κρυσταλλογραφία καθώς και μία επέκταση των υπολογισμών σε υψηλότερες περιττές διαστάσεις για μία μικρή περιοχή του διαγράμματος φάσεων. Διαπιστώσαμε πως η γενίκευση της θεωρίας μας σε υψηλότερες διαστάσεις είναι δυνατή καθώς εμφανίζονται αντίστοιχες ιδιότητες με τη φυσική χαμηλότερων διαστάσεων μέσα σε συγκεκριμένα θερμικά παράθυρα μποζονοποίησης/φερμιονοποίησης. Σε όλα τα παραπάνω η διάσταση των μοντέλων μας ήταν μία χρήσιμη παράμετρος που σε μεγάλο όριο μας οδήγησε σε ήδη γνωστά φυσικά φαινόμενα και αποτελέσματα. Η εύρεση των μηδενισμών και μεγιστοποιήσεων ειδικών συναρτήσεων της υπερβολικής γεωμετρίας αποτελεί ένα ιδιαίτερο και μεγάλης ακρίβειας αποτέλεσμα και η χρήση αυτών μας οδήγησε τελικά σε μία νέα υπόθεση που προκύπτει ως ένας γενικευμένος νόμος σκέδασης σωματιδίων από ψευδοκρυστάλλους.