Αναλυτικοί αλγόριθμοι προβλημάτων συνοριακών τιμών κυματικής σκέδασης από σημειακές πηγές

Abstract

In this Doctoral Thesis, we investigate boundary-value problems, which are incorporated in the general scattering theory by piecewise homogeneous (multi-layered) scatterers. The obtained mathematical models are formulated and subsequently investigated by applying methodologies of partial differential equations and asymptotic analysis. The considered wave propagation problems concern acoustic and electromagnetic waves. Acoustic wave propagation is governed by the scalar Helmholtz equations, while electromagnetic wave propagation is governed by the Maxwell equations and the vector Helmholtz equations. The examined boundary-value problems refer to the excitation of piecewise homogeneous (multi-layered) scatterers by an acoustic point source or an electric (magnetic) point dipole, located at an arbitrary position inside or outside the spherical medium and possessing arbitrary polarization. First, the corresponding direct scattering problems are treated. Analytical algorithms are formulated for the determination of the exact scalar Green’s function in Acoustics and the exact dyadic Green’s function in Electromagnetics. The scalar acoustic fields and the vector electric fields as well as the corresponding far field patterns are derived by means of the determined Green’s functions. Then, asymptotic approximations of the acoustic and electromagnetic far field patterns are obtained under the so-called low-frequency assumption k0α1<<1 (k0 is the free-space wavenumber and α1 the external radius of the spherical medium). The low-frequency realm offers an effective environment for inverse scattering algorithms, which utilize point sources or point dipoles. The components of the dipole’s polarization vector as well as the coordinates of the location of the point source and the point dipole are encoded in the different orders of the derived low-frequency expansions. This fact makes it feasible to formulate analytical far-field inverse scattering algorithms for the acoustic and electromagnetic excitation of a “small” sphere by an arbitrary point source or point dipole, respectively. The developed analytical inverse scattering algorithms are based on measurements of the different orders of the low-frequency expansions of the far-field patterns at suitably chosen angles of observation. Then analytical inverse scattering algorithms are formulated for the acoustic and the electromagnetic excitation of a “small” sphere by an arbitrary point source or point dipole, respectively. Two basic types of inverse scattering problems are examined. The first type concerns an inverse medium scattering problem concerning the determination of the physical parameters of the material composing the scatterer, while the second type concerns an inverse source scattering problem referring to the determination of the location of the acoustic point source or the location and polarization of the electric (magnetic) point dipole. The analysis of this inverse source scattering problem is expected to be particularly useful in medical imaging application, which require the determination of a dipole radiating inside a spherical medium. The associated algorithms are presented in a systematic way and in a form that can be readily incorporated in a computer program and includes all the special cases for the values of the under determination parameters of the problems. It is noted that in considered inverse scattering problems, all the parameters are determined explicitly and not as solutions of systems of nonlinear equations.

Στην διατριβή αυτή διερευνούμε προβλήματα συνοριακών τιμών, τα οποία εντάσσονται στη γενική θεωρία σκέδασης από πολυστρωματικούς σφαιρικούς σκεδαστές. Οι μοντελοποιήσεις που επιτυγχάνουμε διατυπώνονται και διερευνώνται με εφαρμογή μεθόδων μερικών διαφορικών εξισώσεων και ασυμπτωτικής ανάλυσης. Η θεωρούμενη κυματική διάδοση αφορά ακουστικά και ηλεκτρομαγνητικά κύματα. Η ακουστική κυματική διάδοση διέπεται από τις βαθμωτές εξισώσεις Helmholtz, ενώ η ηλεκτρομαγνητική κυματική διάδοση από τις εξισώσεις Maxwell και τις διανυσματικές εξισώσεις Helmholtz. Διερευνούμε την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση ενός τμηματικά ομογενούς σφαιρικού μέσου από μια σημειακή ακουστική πηγή ή ένα σημειακό ηλεκτρικό (μαγνητικό) δίπολο εντοπισμένο σε τυχούσα θέση εντός ή εκτός του σφαιρικού μέσου και με τυχούσα πόλωση. Αρχικά, μελετώνται τα ευθέα προβλήματα σκέδασης. Διατυπώνονται αναλυτικοί αλγόριθμοι για τον προσδιορισμό της ακριβούς βαθμωτής στην Ακουστική και δυαδικής στον Ηλεκτρομαγνητισμό συνάρτησης Green. Τα βαθμωτά ακουστικά πεδία και τα διανυσματικά ηλεκτρικά πεδία καθώς και τα αντίστοιχα μακρινά πεδία εξάγονται με τη βοήθεια των ήδη προσδιορισθέντων συναρτήσεων Green. Στη συνέχεια, επιτυγχάνονται ασυμπτωτικές προσεγγίσεις των ακριβών ακουστικών και ηλεκτρομαγνητικών πεδίων υπό την υπόθεση των χαμηλών συχνοτήτων k0α1<<1 (όπου k0 είναι ο κυματικός αριθμός του ελευθέρου χώρου και α1 η εξωτερική ακτίνα του σφαιρικού μέσου). Οι συνιστώσες του διανύσματος πόλωσης του διπόλου καθώς και οι συντεταγμένες της θέσης της σημειακής πηγής και του σημειακού διπόλου περιέχονται στις διαφορετικές τάξεις των παραγομένων αναπτυγμάτων χαμηλών συχνοτήτων. Το γεγονός αυτό δίνει την δυνατότητα να διατυπώσουμε αναλυτικούς αλγορίθμους αντίστροφης σκέδασης μακρινού πεδίου για την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση <<μικρής σφαίρας>> από μια τυχούσα πηγή ή ένα τυχόν δίπολο, αντιστοίχως. Οι αναλυτικοί αλγόριθμοι που παρουσιά-ζονται χρησιμοποιούν μετρήσεις σε διαφορετικές τάξεις των αναπτυγμάτων των μακρινών πεδίων σε κατάλληλα επιλεγμένες γωνίες παρατήρησης. Στη συνέχεια διατυπώνονται ανα-λυτικοί αλγόριθμοι για την επίλυση αντιστρόφων προβλημάτων σκέδασης μακρινού πεδίου για την ακουστική και την ηλεκτρομαγνητική διέγερση <<μικρής>> σφαίρας από μία τυχούσα πηγή ή ένα τυχόν δίπολο, αντιστοίχως. Δύο βασικοί τύποι αντιστρόφων προβλημάτων σκέδα-σης εξετάζονται. Ο πρώτος τύπος αφορά ένα αντίστροφο πρόβλημα μέσου για τον προσδιορι-σμό των φυσικών παραμέτρων του υλικού του σκεδαστή και ο δεύτερος αναφέρεται σε ένα αντίστροφο πρόβλημα πηγής και αφορά στον προσδιορισμό της θέσης της ακουστικής σημειακής πηγής και της θέσης και της πόλωσης του σημειακού ηλεκτρικού (μαγνητικού) διπόλου. Η ανάλυση αυτού του αντιστρόφου προβλήματος πηγής αναμένεται να είναι ιδιαιτέ-ρως χρηστική σε εφαρμογές ιατρικής διάγνωσης, οι οποίες προϋποθέτουν τον προσδιορισμό ενός διπόλου που ακτινοβολεί εντός σφαιρικού μέσου. Οι σχετικοί αλγόριθμοι παρουσιάζονται κατά συστηματικό τρόπο και σε μία μορφή η οποία μπορεί εύκολα να ενσωματωθεί σε υπολογιστικό πρόγραμμα και περιέχει όλες τις ειδικές περιπτώσεις για τις τιμές των υπό προσδιορισμό παραμέτρων. Σημειώνεται ότι στα θεωρούμενα αντίστροφα προβλήματα, όλες οι παράμετροι προσδιορίζονται επακριβώς και όχι ως λύσεις συστημάτων μη γραμμικών εξισώσεων.