Υπολογιστική σχετικιστική μελέτη των αστέρων νετρονίων με γενίκευση της μεθόδου των μετανευτώνειων προσεγγίσεων

Abstract

The main subject of the present PhD Thesis is the rotating relativistic polytropic models of neutron stars. The final purpose is to compute the physical characteristics of a neutron star in case of hydrostatic equillibrium, of uniform rotation with further study regarding in differential rotation, as well as in case of a neutron star embbeded in a chameleon scalar field. In order to study these problems we have to solve Einstein's equations. Because of the nonlinearity of Einstein's equations, there are not exact solutions describing motions of such objects. So, we adopt the “post-Newtonian approximation” (PNA) scheme, which is a perdurbative approximative scheme for solving Einstein's equations. Post-Newtonian expansions in general relativity are used for finding an approximate solution of the Einstein field equations for the metric tensor. As any approximation scheme, requires some small parameters characterizing the nature of the system under consideration. The post-Newtonian approximation is expanded in small parameters which express orders of deviations from Newton's law of universal gravitation. Typical parameters are the so-called relativistic parameter represents the relativistic behaviour of the system under consideration, and the so-called rotation parameter represents the distortion due to rotation. The post-Newtonian approximation scheme gives Newtonian description in the lowest order and general relativistic effects as higher order perturbations. There are many astrophysical systems where Newtonian gravity is dominant, but general relativistic gravity plays also an important role in their evolution. The present PhD Thesis consistis of six Chapters. In Chapter 1, we discuss the background physics regarding neutron stars. In Chapter 2, we describe the structure of neutron stars and present the various equations of states used for numerical comptutations. In the final part of this chapter, we develope and apply a parallel code for solving with multiprecision (of 32 digits) the problem of the undistorted polytropic model. In Chapter 3, present the theoritical background of relativistic polytropic models within the framework of PNA and the numerical method developed and used in our computations. In Chapter 4, we revisit the problem of computing uniformly rotating polytropic models by using PNA and we solve the problem in complex plane using the so-called “complex plane strategy” (CPS). We achieve to remove certain difficulties, otherwise involved in the computations of general--relativistic polytropic models simulating rapidly rotating neutron stars, and to compute results of improved accuracy when compared to corresponding results of other reliable numerical methods. In order to expand our study to fully relativistic polytropic models and compute general-relativistic polytropic models in critical rigid rotation, we develop a “hybrid approximative scheme” (HAS), in the framework of the post-Newtonian approximation (Chapter 5). We treat the differential equations governing such a model as a “complex initial value problem”; thus the syndromes known to appear in this class of initial value problems are all removed. In our computations, we take into account the complete solution for the relativistic distortion, that issue being an important improvement compared to the classical post-Newtonian approximation. We verify that our method yields results comparable to those of other reliable iterative numerical methods (RNS package). In the last section of this chapter, we develop and apply a numerical method for computing differentialy rotating polytropic models, by combining HAS with the so-called “complex plane iterative technique” (CIT). In Chapter 6, we solve the problem of a static chameleon star (i.e. a neutron star embbeded in a chameleon scalar field) in the complex plane and present results for respectively uniformly rotating models, by using HAS.

Το κύριο αντικείμενο μελέτης της παρούσας διατριβής είναι τα σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα περιστρεφόμενων αστέρων νετρονίων. Ο τελικός στόχος είναι να υπολογισθούν τα φυσικά χαρακτηριστικά ενός αστέρα νετρονίων στην περίπτωση της υδροστατικής ισορροπίας, της ομοιόμορφης περιστροφής με περαιτέρω επέκταση στη διαφορική περιστροφή καθώς και στην περίπτωση που ο αστέρας βρίσκεται εντός εξωτερικού βαθμωτού χαμαιλεοντικού πεδίου. Προκειμένου να μελετήσουμε τέτοια σώματα χρειάζεται να επιλύσουμε τις εξισώσεις του Εinsteιn. Η μη γραμμικότητα των εξισώσεων αυτών καθιστά ανέφικτη την εύρεση αναλυτικών λύσεων που θα περιγράφουν τις κινήσεις των προαναφερόμενων σωμάτων. Επομένως, για να μελετήσουμε τέτοια προβλήματα υιοθετούμε την μέθοδο των «μετανευτωνείων προσεγγίσεων» (post-Newtonian approximation, PNA), η οποία είναι ένα διαταρακτικό προσεγγιστικό σχήμα για την επίλυση των εξισώσεων του Εinsteιn. Με το μετανευτώνειο ανάπτυγμα στα πλαίσια της ΓΘΣ βρίσκουμε μία προσεγγιστική λύση των εξισώσεων του Einstein για τον τανυστή της μετρικής. Όπως κάθε προσεγγιστικό σχήμα, απαιτεί μικρές διαταρακτικές παραμέτρους οι οποίες χαρακτηρίζουν το υπό μελέτη σύστημα. Οι μετανευτώνειες προσεγγίσεις είναι αναπτύγματα μίας μικρής περιστροφικής παραμέτρου, η οποία αντιπροσωπεύει τη διαταρακτική επίδραση της περιστροφής, και μίας σχετικιστικής παραμέτρου, η οποία αντιπροσωπεύει την απόκλιση από την επίπεδη μετρική. Η PNA είναι προσεγγιστικό σχήμα, το οποίο ικανοποιεί την Νευτώνεια περιγραφή στην χαμηλότερη τάξη και αποδίδει τα σχετικιστικά φαινόμενα ως όρους διαταραχής υψηλότερης τάξης. Αυτό συμβαίνει διότι σε πολλά αστροφυσικά συστήματα, ενώ κυριαρχεί η Νευτώνεια βαρύτητα, τα σχετικιστικά φαινόμενα όπως προκύπτουν από την ΓΘΣ παίζουν σημαντικό ρόλο στην εξέλιξή τους.Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε έξι Κεφάλαια. Τα τρία πρώτα περιλαμβάνουν την έως σήμερα επιστημονική γνώση και το θεωρητικό πλαίσιο πάνω στο οποίο βασίστηκε η παρούσα έρευνα. Συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 1 παρουσιάζονται συνοπτικά στοιχεία από την τρέχουσα βιβλιογραφία που αφορούν θέματα όπως, τα φυσικά χαρακτηριστικά των αστέρων νετρονίων και της περιστρεφόμενης εκδοχής τους, τους πάλσαρς. Το Κεφάλαιο 2 περιγράφει την δομή των αστέρων νετρονίων, όπως μας είναι γνωστή, στις διάφορες καταστατικές εξισώσεις, με τις οποίες τους μελετάμε αριθμητικά και στο αδιατάρακτο πολυτροπικό μοντέλο, που τους προσομοιώνει, στο Νευτώνειο όριο. Στο τελευταίο μέρος του κεφαλαίου αυτού, υλοποιήσαμε παράλληλο κώδικα που επιλύει με ακρίβεια 32 δεκαδικών ψηφίων το αδιατάρακτο πολυτροπικό μοντέλο. Στο Κεφάλαιο 3, παρουσιάζεται το θεωρητικό υπόβαθρο των σχετικιστικών πολυτροπικών μοντέλων στα πλαίσια των μετανευτωνείων προσεγγίσεων, καθώς και της μεθόδου PNA που χρησιμοποιήσαμε για τους περαιτέρω υπολογισμούς μας. Στο Κεφάλαιο 4, γενικεύουμε την διαταρακτική μέθοδο PNA, όπως την διατύπωσαν οι Fahlman - Anand, επιλύοντας το πρόβλημα στο μιγαδικό επίπεδο με την «στρατηγική του μιγαδικού επιπέδου» (complex plane strategy, CPS). Ο συγκεκριμένος τρόπος επίλυσης βελτιώνει την ακρίβεια τον αποτελεσμάτων και συμβάλλει στην αποφυγή συμβάσεων και αριθμητικών «συνδρόμων». Έτσι, υπολογίζουμε με ακρίβεια και συγκρίνουμε με την υπάρχουσα βιβλιογραφία τις ισημερινές ακτίνες και τις κρίσιμες παραμέτρους περιστροφής για «ομοιόμορφα περιστρεφόμενα πολυτροπικά μοντέλα» (uniformly rotating polytropic models), σχετικιστικά και μη. Προκειμένου να επεκτείνουμε τους υπολογισμούς μας σε άκρως σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα με κρίσιμη περιστροφή, αναπτύσσουμε στο Κεφάλαιο 5 το «υβριδικό προσεγγιστικό σχήμα» (hybrid approximative scheme, HAS). Θεωρούμε τις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν το πρόβλημα ως «μιγαδικό πρόβλημα αρχικών τιμών». Έτσι απαλείφονται όλα τα σύνδρομα που παρουσιάζονται σε τέτοιου είδους προβλήματα αρχικών τιμών. Βασικός άξονας της HAS είναι ο συνδυασμός της αριθμητικής λύσης για το στατικό σχετικιστικό πολυτροπικό μοντέλο με τις διορθώσεις για την περιστροφή από την PNA. Αυτός ο χειρισμός επιφέρει σημαντική βελτίωση σε σχέση με την κλασική PNA. Μετά τον υπολογισμό της ισημερινής ακτίνας και της κρίσιμης παραμέτρου περιστροφής (όπως στο πρώτο μέρος), υπολογίζουμε τα φυσικά χαρακτηριστικά του αστέρα με τον αλγόριθμο που περιγράφεται από τον Hachisu. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με τα αντίστοιχα του υπολογιστικού πακέτου RNS (που είναι επαναληπτική μέθοδος). Στη συνέχεια, αναπτύσσουμε το θεωρητικό πλαίσιο για την εφαρμογή της μεθόδου HAS σε συνδυασμό με την «επαναληπτική τεχνική επί του μιγαδικού επιπέδου» (complex plane iterative technique, CIT), στα σχετικιστικά πολυτροπικά μοντέλα με διαφορική περιστροφή. Στο Κεφάλαιο 6, επιλύουμε το πρόβλημα του στατικού αστέρα χαμαιλέοντα (αστέρας νετρονίων εμβαπτισμένος σε χαμαιλεοντικό πεδίο) στο μιγαδικό επίπεδο και παραθέτουμε υπολογισμούς, με τη χρήση της HAS, για το αντίστοιχο μοντέλο με ομοιόμορφη περιστροφή.