Επιλογή οικογένειας μετασχηματισμών σε μπεϋζιανά στατιστικά μοντέλα: μεθοδολογία και εφαρμογές

Abstract

The primary purpose of this thesis was to produce a Bayesian methodology for contrasting and comparing several transformation families $T$ with a view of achieving normality of a set of observations. Four transformation families have been considered (Box-Cox, Modulus, Yeo & Johnson and Dual) along with the Identical and Logarithmic transformations. The proposed methodology demarcates the optimal choice of family $T$ and value of the transformation parameter $λ_T$ within the Bayesian model selection framework using appropriate MCMC algorithms. We investigate different approaches to constructing compatible prior distributions for$λ_T$ over alternative transformation families. In the case of univariate problems with no covariates, the power prior approach has been employed based on a common set of imaginary data simulated from the reference model of the Id transformation. An alternative prior used was a unit-information normal prior for the transformation parameter $λ_T$ . Regarding problems with covariates, the role of the imaginary data has been granted to the training samples of the intrinsic Bayes factor and to the fractional parameter of the fractional Bayes factor, thus permitting the formulation of objective improper priors for the transformation parameter. Moreover, the research framework has been enhanced to incorporate the Bayesian variable selection simultaneously with the transformation family selection.

Ο βασικός στόχος της παρούσας διατριβής ήταν να παρέχει μια συνεκτική μεθοδολογία Μπεϋζιανής συλλογιστικής με σκοπό τη συμπερασματολογία, σύγκριση και αξιολόγηση διαφορετικών οικογενειών μετασχηματισμών $T$ που μετασχηματίζουν ένα σύνολο παρατηρήσεων προς την κανονικότητα. Στην προτεινόμενη προσέγγιση θεωρούμε τέσσερις παραμετρικές οικογένειες μετασχηματισμών (Box-Cox, Modulus, Yeo & Johnson and Dual) και ακόμη τον Ταυτοτικό και τον Λογαριθμικό μετασχηματισμό. Η προτεινόμενη μεθοδολογία αναδεικνύει τη βέλτιστη επιλογή οικογένειας $T$ και τη βέλτιστη επιλογή για την τιμή της παραμέτρου μετασχηματισμού $λ_T$ μέσα από τη Μπεϋζιανή επιλογή μοντέλου με χρήση κατάλληλων MCMC αλγόριθμων ή αριθμητικών μεθόδων κατά περίπτωση.Η κατασκευή λογικών πρότερων κατανομών για τις υπό μελέτη οικογένειες μετασχηματισμών είναι ένα θεμελιώδες ζήτημα εξαιτίας της διαφορετικής ερμηνείας της παραμέτρου $λ_T$ μεταξύ των οικογενειών. Στην περίπτωση των προβλημάτων χωρίς επεξηγηματικές μεταβλητές, τα θέματα συμβατότητας που σχετίζονται με την επιλογή μετασχηματισμού αντιμετωπίστηκαν μέσω της πρότερης κατανομής δύναμης, αλλά και μέσω της χρήσης κοινών φανταστικών δεδομένων που προσομοιώθηκαν από το μοντέλο αναφοράς του Ταυτοτικού μετασχηματισμού. Ένα δεύτερο πλαίσιο πρότερης κατανομής, με τη μορφή κανονικής πρότερης κατανομής μοναδιαίας πληροφορίας για την παράμετρο $λ_T$ χρησιμοποιήθηκε σαν μια εναλλακτική του πρώτου πλαισίου πρότερης κατανομής. Όσον αφορά προβλήματα με επεξηγηματικές μεταβλητές, τα φανταστικά δεδομένα έδωσαν τη θέση τους στα δεδομένα εκπαίδευσης του ενδογενούς παράγοντα Bayes και στην κλασματική παράμετρο εκπαίδευσης του κλασματικού παράγοντα Bayes, επιτρέποντας τον σχηματισμό αντικειμενικών μη γνήσιων κατανομών για την παράμετρο μετασχηματισμού. Επιπλέον, το ερευνητικό πλαίσιο εμπλουτίστηκε ενσωματώνοντας τη διαδικασία επιλογής επεξηγηματικών μεταβλητών παράλληλα με την επιλογή οικογένειας μετασχηματισμών.