Essays οn limit theorems for Martingale transforms with heavy-tailed innovations and the limit theory of the QMLE in conditionally heteroskedastic models

Abstract

Financial time series are known to exhibit fat tail behavior which is only partially captured by GARCH-type models. This has led to the consideration of heavy-tailed distributions for the squared innovation process. The purpose of this thesis is to derive limit theorems with mixed stable limits and, using the latter, to examine the asymptotic theory of the Gaussian quasi-maximum likelihood estimator in a general class of conditionally heteroskedastic models relaxing the usual assumption of finite fourth moments on the innovation process. The first chapter concerns the limit theory of the QMLE for the nonlinear GQARCH(1,1) model under the setting of strict stationarity and ergodicity. Using the stochastic recurrence equation (SRE) approach we establish conditions for stationarity-ergodicity and conjecture that they are identical with the GARCH(1,1) model while proving an analogous argument for the QARCH(1) model. We proceed to determine the limit behavior of the QMLE allowing the squared innovation process to lie in the normal domain of attraction of an \alpha-stable distribution with index of stability \alpha\in(1,2] and the true parameter vector to lie on the boundary of the parameter space resulting in weak limits which are thus allowed to be non-normal. In the second chapter we extend an existing result in the literature, which establishes asymptotic normality of the QMLE in the non-stationary ARCH(1) model, by allowing the innovation process not to possess finite fourth moments. Specifically we assume that the squared innovation process lies in the domain (not necessarily normal) of attraction of an \alpha-stable distribution with \alpha\in(0,2]. When \alpha\in[1,2] we obtain \alpha-stable limits with the same \alpha, while in the case where \alpha\in(0,1) we derive inconsistency and non-tightness for the QMLE. In chapter 3 we provide a CLT for martingale transforms which holds even for sequences with infinite variance in which case we obtain normal limits but with rate of convergence different than the usual \sqrt{n}. Specifically, the rate will depend on the rate of divergence of the second truncated moments. Interestingly enough the result obtains by verifying a modified version of Lindeberg's condition under mild conditions and the rate of convergence can be easily estimated. In chapter 4 we provide a limit theorem with mixed stable limits that is general enough to be applicable in a variety of cases, including those examined in the previous chapters. We provide a general framework for stationary and ergodic conditionally heteroskedastic processes for the QMLE limit theory using stochastic recurrence equation methods. Then we derive the limit theory of the QMLE when \alpha\in[1,2), and inconsistency and non-tightness when \alpha\in(0,1). Furthermore, we provide an example where the stationarity framework can be relaxed by deriving the limit theory of the QMLE for the non-stationary GARCH(1,1). Finally, we determine the asymptotic behavior of the usual Wald statistic and obtain asymptotic exactness and consistency of the relevant testing procedure based on subsampling methods. Then we evaluate the performance of the latter numerically.

Ως γνωστόν οι χρονολογικές σειρές χρηματοοικονομικών τίτλων εμφανίζουν παχιές ουρές οι οποίες μερικώς μόνο αποτυπώνονται από GARCH-τύπου μοντέλα. Αυτό έχει οδηγήσει στη μελέτη κατανομών με παχιές ουρές για το τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων. Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι να εξάγει οριακά θεωρήματα με όρια μικτές ευσταθείς κατανομές και, χρησιμοποιώντας τα τελευταία, να εξετάσει την ασυμπτωτική θεωρία του οιονεί εκτιμητή μεγίστης πιθανοφάνειας (QMLE) στο πλαίσιο μοντέλων δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας χαλαρώνοντας τη συνηθισμένη υπόθεση πεπερασμένων ροπών τέταρτης τάξης στην ανέλιξη των καταλοίπων.Το πρώτο κεφάλαιο αφορά στην οριακή θεωρία του QMLE για το μη γραμμικό μοντέλο GQARCH (1,1) κάτω από την υπόθεση αυστηρής στασιμότητας και εργοδικότητας. Χρησιμοποιώντας την προσέγγιση των στοχαστικών αναδρομικών εξισώσεων παρέχουμε συνθήκες για στασιμότητα και εργοδικότητα και διατυπώνουμε την εικασία ότι αρκούν οι αντίστοιχες συνθήκες του GARCH(1,1) μοντέλου ενώ αποδεικνύουμε αυτό το επιχείρημα στην περίπτωση του QARCH(1) μοντέλου. Συνεχίζουμε προσδιορίζοντας την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE επιτρέποντας στο τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων να βρίσκεται στο κανονικό τομέα έλξης μιας ευσταθούς κατανομής με δείκτη σταθερότητας \alpha\in(1,2] και το διάνυσμα της πραγματικής παραμέτρου να βρίσκεται στο σύνορο του παραμετρικού χώρου έχοντας ως αποτέλεσμα ασθενή όρια τα οποία ως εκ τούτου επιτρέπονται να είναι μη κανονικά.Στο δεύτερο κεφάλαιο επεκτείνουμε ένα υπάρχον αποτέλεσμα στη βιβλιογραφία, το οποίο δείχνει την ασυμπτωτική κανονικότητα του QMLE στο μη στάσιμο ARCH(1) μοντέλο, επιτρέποντας στην ανέλιξη των σφαλμάτων να μην διαθέτουν πεπερασμένη τέταρτη ροπή. Συγκεκριμένα υποθέτουμε ότι το τετράγωνο της ανέλιξης των σφαλμάτων βρίσκεται στον τομέα (όχι απαραίτητα κανονικό) έλξης μιας ευσταθούς κατανομής με \alpha\in(0,2]. Όταν \alpha\in[1,2] βγάζουμε ευσταθή όρια με το ίδιο \alpha, ενώ στην περίπτωση όπου \alpha\in(0,1) βγάζουμε ασυνέπεια και μη σφιχτότητα του QMLE.Στο τρίτο κεφάλαιο παρέχουμε ένα κεντρικό οριακό θεώρημα για martingale μετασχηματισμούς το οποίο ισχύει ακόμα και για ακολουθίες με άπειρη διακύμανση όπου σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε κανονικά όρια αλλά με ρυθμό σύγκλισης διαφορετικό από το συνηθισμένο \sqrt{n}. Πιο συγκεκριμένα, ο ρυθμός θα εξαρτάται από τον ρυθμό απόκλισης των αποκομμένων δεύτερων ροπών. Αρκετά ενδιαφέρον είναι το γεγονός ότι το αποτέλεσμα προκύπτει επιβεβαιώνοντας μια τροποποιημένη εκδοχή της συνθήκης Lindeberg κάτω από ήπιες συνθήκες και ο ρυθμός σύγκλισης μπορεί πολύ εύκολα να εκτιμηθεί.Στο τέταρτο κεφάλαιο παρέχουμε ένα οριακό θεώρημα με μικτά ευσταθή όρια το οποίο είναι αρκετά γενικό ώστε να είναι εφαρμόσιμο σε διάφορες περιπτώσεις, συμπεριλαμβανομένων όσων εξετάστηκαν στα προηγούμενα κεφάλαια. Παρέχουμε ένα γενικό πλαίσιο για στάσιμες και εργοδικές ανελίξεις δεσμευμένης ετεροσκεδαστικότητας για την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE χρησιμοποιώντας μεθόδους στοχαστικών αναδρομικών εξισώσεων. Μετά βγάζουμε την ασυμπτωτική θεωρία του QMLE όταν \alpha\in[1,2), και ασυνέπεια και μη σφιχτότητα όταν \alpha\in(0,1). Επιπλεόν, παρέχουμε ένα παράδειγμα όπου το πλάισιο της στασιμότητας μπορεί να χαλαρωθεί βγάζοντας την ασυμπτωτική θεωρία του συνηθισμένου στατιστικού Wald και αποδεικνύουμε την ασυμπτωτική ακρίβεια και συνέπεια της σχετικής διαδικασίας ελέγχου χρησιμοποιώντας μεθόδους υποδειγματοληψίας. Τέλος αξιολογούμε την επίδοση του τελευταίου αριθμητικά.