Stochastic optimal control and stochastic differential Games: applications in insurance

Abstract

The present thesis is divided into two parts.The first part begins with the development of a new approach to study the problem of optimal investment under asymmetric information. This approach heavily relies on stochastic optimal control techniques and in particular on the use of the Hamilton-Jacobi-Bellman equation. Then, we turn our attention to the introduction of inside information aspects to the insurance/reinsurance market. This is accomplished by considering two firms: an insurer and a reinsurer and letting one of the firms, the insurer, possess some additional information which is hidden from the reinsurer. By employing the aforementioned approach, we are able to treat the problem of maximizing the expected utility from terminal wealth, for both firms, by taking explicitly into account their different information sets. Finally, we provide a numerical teratment of the overall effect of the additional information on the optimal decisions of the insurer.The aim of the second part is to study a robust-entropic optimal control problem between an insurance firm and Nature. However, a major obstacle arises, as the value of this problem is associated with a fully nonlinear partial stochastic differential equation that may not admit smooth solutions. In order to overcome this difficulty, we write this general problem as a normal form zero sum stochastic differential game with two players and resort to the classical theory developed by Fleming and Souganidis in order to prove that the associated Bellman-Isaacs partial differential equation admits a unique continuous viscosity solution, which is the Nash value of the game. Furthermore, we state and prove a general verification theorem that allows to characterize the optimal controls of the players. Finally, we provide the connection of the robust-entropic control problem with thehtoery of convex risk measures and we conclude with the study of the asymptotic behavior of the aforementioned Bellman-Isaacs equation.

Η παρούσα διατριβή χωρίζεται σε δύο μέρη. Το πρώτο μέρος ξεκινάει με την κατασκευή μίας νέας προσέγγισης για την μελέτη του προβλήματος του καθορισμού της βέλτιστης επενδυτικής πολιτικής κάτω από την ύπαρξη εσωτερικής πληροφόρησης. Η προσέγγιση αυτή βασίζεται κυρίως σε τεχνικές της θεωρίας στοχαστικού ελέγχου και πιο συγκεκριμένα στην χρήση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi-Bellman. Εν συνεχεία, επικεντρώνουμε την προσοχή μας στην εισαγωγή εσωτερικής πληροφόρησης σε μία ασφαλιστική/αντασφαλιστική αγορά. Αυτό επιτυγχάνεται θεωρώντας δύο παίκτες : έναν ασφαλιστή και έναν αντασφαλιστή και υποθέτωντας ότι ο ένας από τους δύο, εν προκειμένω ο ασφαλιστής, κατέχει μία επιπλέον πληροφορία η οποία είναι κρυμμένη από τον αντασφαλιστή. Υιοθετώντας την προαναφερόμενη προσέγγιση, είμαστε σε θέση να αντιμετωπίσουμε το πρόβλημα μεγιστοποίησης της αναμενόμενης ωφελιμότητας του τελικού πλούτου, και για τους δύο παίκτες, λαμβάνοντας ρητώς υπόψην τα διαφορετικά σύνολα πληροφόρησής τους. Τέλος, παρέχουμε μία αριθμητική μελέτη του αποτελέσματος της εσωτερικής πληροφόρησης πάνω στις βέλτιστες αποφάσεις του ασφαλιστή.Ο σκοπός του δεύτερου μέρους είναι η μελέτη ενός ανθεκτικού-εντροπικού προβλήματος στοχαστικού ελέγχου μεταξύ ενός ασφαλιστή και της Φύσης. Ωστόσο παρουσιάζεται ένα σημαντικό εμπόδιο, μιας και η τιμή του προβλήματος αυτού είναι συσχετισμένη με μία ισχυρά μη γραμμική στοχαστική μερική διαφορική εξίσωση η οποία δεν επιδέχεται ομαλές λύσεις. Για να ξεπεράσουμε αυτή τη δυσκολία γράφουμε το γενικό αυτό πρόβλημα σαν ένα κανονικής μορφής μηδενικού αθροίσματος στοχαστικό διαφορικό παίγνιο με δύο παίκτες και καταφεύγουμε στη θεωρία που θεμελιώθηκε από τους Fleming και Souganidis με σκοπό να δείξουμε ότι η σχετιζόμενη με το παίγνιο μερική διαφορική εξίσωση Bellman-Isaacs επιδέχεται μοναδική ασθενή λύση, η οποία είναι και η Nash τιμή του προβλήματος. Επιπλέον, διατυπώνουμε και αποδεικνύουμε ένα γενικό θεώρημα επαλήθευσης το οποίο μας επιτρέπει να χαρακτηρίσουμε τις βέλτιστες στρατηγικές των παικτών. Τέλος, παρέχουμε τη σύνδεση του ανθεκτικού-εντροπικού προβλήματος ελέγχου με τη θεωρία των κυρτών μέτρων κινδύνου και κλείνουμε με την μελέτη της ασυμπτωτικής συμπεριφοράς της προαναφερθείσας Bellman-Isaacs εξίσωσης.