Representation dimension, Cohen-Macaulay modules and triangulated categories

Abstract

In this thesis we investigate homological invariants arising in the representation theory of Artin algebras. The main focus of our study is on the representation and finitistic/global dimension of Artin algebras, the class of Cohen-Macaulay modules and the Rouquier dimension of triangulated categories. The proper conceptual framework, from our perspective, for this study is the general setting of recollements of abelian categories, a concept which is fundamental in Algebra, Geometry and Topology, and the closely related omnipresent class of Morita rings. Our aim is to investigate homological aspects of recollements of abelian categories and to study Morita rings in the context of Artin algebras, concentrating mainly at representation-theoretic and homological aspects. Moreover we classify recollements of abelian categories whose terms are module categories, thus solving a conjecture by Kuhn. Our interest in recollements is motivated from questions and problems on representation and finitistic dimension of Artin algebras and the interrelation between them. On the other hand our interest in Morita rings is motivated by the frequent occurrence of this class of matrix rings in the representation theory of Artin algebras and elsewhere, and the interpretation of their module categories via suitable recollements.

Σε αυτήν τη διδακτορική διατριβή μελετάμε ομολογικές διαστάσεις που εμφανίζονται στη Θεωρία Αναπαραστάσεων Αλγεβρών του Artin. Η βασική μας έρευνα επικεντρώνεται στη διάσταση αναπαράστασης (representation dimension) και στην περατοκρατική και ολική διάσταση (finitistic and global dimension) για Artin άλγεβρες, στην κλάση των προτύπων Cohen-Macaulay και στη διάσταση Rouquier τριγωνισμένων κατηγοριών. Το κατάλληλο εννοιολογικό πλαίσιο, από τη σκοπιά μας, για τη μελέτη αυτή είναι οι συγκολλήσεις αβελιανών κατηγοριών (recollements of abelian categories), μια θεμελειώδης έννοια που έχει εμφανιστεί στην Άλγεβρα, στη Γεωμετρία και στην Τοπολογία, και η ευρέως γενική κλάση των δακτυλίων Morita. Στόχος μας είναι να ερευνήσουμε διάφορες ομολογικές αναλλοίωτες και διαστάσεις για συγκολλήσεις αβελιανών κατηγοριών και να μελετήσουμε δακτύλιους Morita, κυριώς ως άλγεβρες του Artin, από τη σκοπιά της θεωρίας αναπαραστάσεων αλγεβρών. Επιπλέον ταξινομούμε συγκολλήσεις κατηγοριών προτύπων, λύνοντας έτσι μια Εικασία του Kuhn. Το κίνητρο για την ενασχόληση μας με τις συγκολλήσεις προέρχεται από διάφορα προβλήματα αναφορικά με τη διάσταση αναπαράστασης, τη περατοκρατική διάσταση και τη σχέση μεταξύ τους. Από την άλλη πλευρά, το κίνητρο για τoυς δακτυλίους Morita οφείλεται στη συχνή εμφάνιση αυτής της κλάσης των δακτυλίων πινάκων στη θεωρία αναπαραστάσεων αλγεβρών αλλά και αλλού, καθώς επίσης και στη σχέση της κατηγορίας των προτύπων τους με τις συγκολλήσεις.