Ανάπτυξη προηγμένων τεχνικών της μεθόδου διάδοσης δέσμης στην ανάλυση ανισοτροπικών φωτονικών διατάξεων, σε άμεσα σχήματα και σχήματα στο πεδίο του χρόνου

Abstract

The scope of this doctoral thesis is the development of three novel Beam Propagation Method (BPM) schemes. The first computational scheme is a full-vector BPM based on mixed finite elements. Modeling with triangular mixed elements (edge elements for transverse components and nodal elements for the axial one) enables accurate simulation of electric field's vector nature, with easy and direct application of boundary conditions. A further advantage of the proposed implementation is the easy extension of the paraxial scheme to a wide-angle one, due to the symmetry resulting from the specific selection of testing functions in the axial direction. The method is oriented to the simulation of optical devices consisted of anisotropic materials. Nevertheless, in the present thesis the interest is consetrated on the simulation of liquid crystal (LC) devices, as the anisotropy (birefringence) can take very high values. A suspended core fiber, a LC infiltated photonic crystal fiber and a homeotropic to multi-domain LC cell are analysed. Comparing the results with those obtained by other methods indicate the accuracy of the proposed method.In the second part of this thesis interest turned to the development of an explicit full-vector BPM. As is evident from the review of the literature, the vast majority of methods have been developed to date are implicit, based primarily on the Crank-Nicholson scheme. This is mainly due to the inherent deficiencies of explicit methods, in contrast with the guaranteed stability of the implicit ones even for large axial steps. The proposed method has come to fill this space by attempting the development of a reliable expicit numerical scheme. The explicit character of the method is based on the iterated Crank-Nicholson scheme, in the implementation of which the solution can be accessed through successive iterations. An extensive comparison to computational time and accuracy with the conventional implicit finite-differnce and finite-element BPM showed that the computational time is reduced at least by half, while the accuracy remains the same. The explicit scheme is also extended to the wide-angle case through the approximation of the propagation operator by Taylor series.In the latter part of the thesis a scalar time-domain BPM is developed. The discretization of time and space in the transverse plane takes place with nodal prismatic finite elements. The discretization in the axial direction is carried out by the Crank-Nicholson scheme. In order to improve the efficiency of the method a moving time window is adopted, greatly reducing the computational requirements. The developed method is not limited by a slowly varying envelope approximation in time, allowing the accurate study of short pulses. Moreover, the third order nonlinearity (Kerr effect) and the material dispersion are taken into account. The proposed method was used to study the propagation of a short gaussian pulse through a directional coupler. The spectral response of a Bragg fiber is also extracted through the propagation of an optical pulse. The third application focuses on a nonlinear directional coupler, indicating that the increase of the optical power leads to the weakening of the coupling between the two arms of the device.

Στόχο της παρούσας διδακτορικής διατριβής αποτελεί η ανάπτυξη τριών νέων αριθμητικών σχημάτων της Μεθόδου Διάδοσης Δέσμης. Το πρώτο αριθμητικό σχήμα είναι μία πλήρως διανυσματική Μέθοδος Διάδοσης Δέσμης βασισμένο σε πεπερασμένα στοιχεία μικτού τύπου. Η μοντελοποίηση με στοιχεία μικτού τύπου (στοιχεία ακμής για τις εγκάρσιες συνιστώσες και κομβικά για την αξονική) επιτρέπει την ακριβή μοντελοποίηση της διανυσματικής φύσης του ηλεκτρικού πεδίου, με εύκολη εφαρμογή των οριακών συνθηκών. Επιπρόσθετο πλεονέκτημα της προτεινόμενης υλοποίησης αποτελεί η εύκολη επέκτασή του αρχικού παραξονικού σχήματος σε σχήμα ευρείας γωνίας, λόγω της συμμετρίας που προκύπτει από τη συγκεκριμένη επιλογή των συναρτήσεων δοκιμής κατά την αξονική διεύθυνση. Η μέθοδος προσανατολίζεται στην ανάλυση οπτικών διατάξεων ανισοτροπικών υλικών. Στην παρούσα διατριβή το ενδιαφέρον επικεντρώθηκε στην προσομοίωση διατάξεων υγρών κρυστάλλων, καθώς η ανισοτροπία μπορεί να λάβει πολύ υψηλές τιμές. Αναλύθηκαν μία ίνα αναρτημένου πυρήνα, μία ίνα φωτονικού κρυστάλλου με διήθηση υγρού κρυστάλλου και ένα κελί διάταξης πολαπλών τομέων. Η σύγκριση των αποτελεσμάτων με αυτά που προκύπτουν από άλλες μεθόδους αποδεικνύει την ακρίβεια της προτεινόμενης μεθόδου. Στο δεύτερο μέρος της διατριβής το ενδιαφέρον στρέφεται στην ανάπτυξη μίας άμεσης Μεθόδου Διάδοσης Δέσμης. Όπως γίνεται εμφανές από την ανασκόπηση της σχετικής βιβλιογραφίας, η συντριπτική πλειοψηφία των μεθόδων που έχουν αναπτυχθεί έως σήμερα είναι έμμεσες, βασισμένες στο σχήμα Crank-Nicholson. Αυτό οφείλεται κατά κύριο λόγο στις εγγενείς αδυναμίες των άμεσων σχημάτων, σε αντίθεση με την εγγυημένη ευστάθεια των έμμεσων σχημάτων ακόμα και για μεγάλες τιμές του αξονικού βήματος διάδοσης. Η προτεινόμενη μέθοδος έρχεται να καλύψει αυτό το κενό επιχειρώντας την ανάπτυξη ενός αξιόπιστου άμεσου αριθμητικού σχήματος. Ο άμεσος χαρακτήρας της μεθόδου βασίζεται στο επαναληπτικό σχήμα Crank-Nicholson, με την εφαρμογή του οποίου η λύση προκύπτει από τη διαδοχική εφαρμογή επαλήψεων. Η εκτενής σύγκριση του υπολογιστικού χρόνου και της ακρίβειας με τις αντίστοιχες κλασικές έμμεσες Μεθόδους Διάδοσης Δέσμης πεπερασμένων διαφορών και πεπερασμένων στοιχείων κατέδειξαν τη σημαντική μείωση του υπολογιστικού χρόνου τουλάχιστον στο μισό με ταυτόχρονη διατήρηση της ακρίβειας της μεθόδου. Το άμεσο σχήμα επεκτείνεται σε σχήμα ευρείας γωνίας μέσω της προσέγγισης του τελεστή διάδοσης με σειρά Taylor. Στο τελευταίο μέρος της διατριβής αναπτύσσεται μία Μέθοδος Διάδοσης Δέσμης στο πεδίο του χρόνου. Η διακριτοποίηση του χρόνου και του εγκάρσιου χωρικού επιπέδου πραγματοποιείται με κομβικά πρισματικά στοιχεία. Η διακριτοποίηση κατά την αξονική διεύθυνση πραγματοποιείται με το σχήμα Crank-Nicholson. Για τη βελτίωση της αποδοτικότητας της μεθόδου υιοθετείται ένα μετακινούμενο χρονικό παράθυρο, μειώνοντας σημαντικά τις υπολογιστικές απαιτήσεις. Η ανάπτυξη της μεθόδου δεν περιορίζεται από την προσέγγιση αργά μεταβαλλόμενου φακέλου ως προς το χρόνο, επιτρέποντας την ακριβή προσομοίωση οπτικών παλμών βραχείας διάρκειας. Επιπλέον, η μη γραμμικότητα τρίτης τάξης (φαινόμενο Kerr) και η διασποά του υλικού λαμβάνονται υπόψιν. Η προτεινόμενη μέθοδος χρησιμοποιήθηκε στη μελέτη της διάδοσης ενός γκαουσιανού παλμού βραχείας διάρκειας μέσω ενός κατευθυντικού ζεύκτη. Επίσης εξήχθη η συχνοτική απόκριση μίας ίνας τύπου Bragg μέσω της διάδοσης ενός οπτικού παλμού. Η τρίτη εφαρμογή επικεντρώνεται σε ένα μη γραμμικό κατευθυντικό ζεύκτη, καταδεικνύοντας την υποβάθμιση της σύζευξης μεταξύ των δύο βραχίονων της διάταξης με την αύξηση της οπτικής ισχύος.