Monotone and generalized monotone bifunctions and their application to operator theory

Abstract

The subject of the thesis is the study the properties of monotone and generalized monotone bifunctions, i.e., functions F:CxCR where C is a subset of a Banach space X, and such that f(x,y)+f(y,x)<=0 for all x,y in C. Our main purpose is to associate properties of monotone bifunctions to corresponding properties of multivalued monotone operators defined on X.In fact, every monotone operator can be associated to a kind of subdifferential of a monotone bifunction. By showing properties of bifunctions, one can derive corresponding properties for operators. For instance, in the thesis the notion of a σ-monotone bifunction is introduced. It is shown that every such bifunction is locally bounded in the interior of its domain. As a result, the corresponding property for σ-monotone operators is deduced, thus generalizing a result by Iusem, Kassay, Sosa to infinite dimensions. In addition, it is shown that bifunctions can behave better than operators: for instance, it is known that a maximal monotone operator is never locally bounded at the boundary of its domain. However, it is shown that monotone bifunctions are locally bounded on the whole domain including the boundary, in case the domain is polyhedral. Other results include: a generalization of the theorem of L. Vesely to σ-monotone operators; the proof of existence of a solution for the equilibrium problem under weak assumptions; the generalization of a result on coercive operators, to quasi-coercive ones.In the last chapter of the thesis, the Fitzpatrick transform of a bifunction is introduced: Given a bifunction which is convex and lower semicontinuous with respect to its second variable, its Fitzpatrick transform is a function which is convex and lower semicontinuous (as a function of two variables) on XxX*. It is shown that whenever the bifunction stems from a maximal monotone operator, its Fitzpatrick transform equals the Fitzpatrick function of the operator. Further, the Fitzpatrick transform is used to derive results that strengthen known results on the relation of the maximal monotonicity of a bifunction to the maximal monotonicity of the associated operator, some results of Blum and Oettli, and results on the Fitzpatrick function in case the operator is cyclically monotone.

Το θέμα της παρούσας διατριβής είναι η μελέτη των μονότονων και γενικευμένα μονότονων «δισυναρτήσεων», δηλαδή συναρτήσεων F:CxCR, όπου C είναι υποσύνολο του χώρου Banach X, οι οποίες ικανοποιούν τη σχέση f(x,y)+f(y,x)<=0. Κύριος σκοπός είναι η συσχέτιση των ιδιοτήτων των μονότονων δισυναρτήσεων με αντίστοιχες ιδιότητες των πλειότιμων μονότονων τελεστών από το X στο X*. Συγκεκριμένα, κάθε μονότονος τελεστής μπορεί να συσχετιστεί με ένα είδος υποδιαφορικού μιας κατάλληλης δισυνάρτησης. Αποδεικνύοντας ιδιότητες για δισυναρτήσεις, συνάγονται αντίστοιχες ιδιότητες για τελεστές. Για παράδειγμα, στη διατριβή εισάγεται η έννοια της σ-μονότονης δισυνάρτησης. Αποδεικνύεται ότι κάθε τέτοια δισυνάρτηση είναι τοπικά φραγμένη στο πεδίο ορισμού της. Ως συμπέρασμα, εξάγεται η αντίστοιχη ιδιότητα για όλους τους σ-μονότονους τελεστές, γενικεύοντας πρόσφατα αποτελέσματα των Iusem, Kassay, Sosa στις άπειρες διαστάσεις. Μάλιστα, αποδεικνύεται ότι οι δισυναρτήσεις συμπεριφέρονται καλύτερα από τους τελεστές: Για παράδειγμα, ένας μεγιστικά μονότονος τελεστής δεν είναι ποτέ τοπικά φραγμένος στο σύνορο του πεδίου ορισμού του, ενώ μια δισυνάρτηση είναι πάντοτε φραγμένη ακόμη και στο σύνορο, αν το πεδίο ορισμού είναι πολυεδρικό. Άλλα αποτελέσματα είναι: η γενίκευση του θεωρήματος του L. Vesely σε σ-μονότονους τελεστές, η απόδειξη της ύπαρξης λύσης για προβλήματα ισορροπίας κάτω από ασθενείς συνθήκες, και η γενίκευση ενός αποτελέσματος που αφορά τους πιεστικούς (coercive) τελεστές, σε σχεδόν πιεστικούς.Στο τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής εισάγεται ο μετασχηματισμός Fitzpatrick για δισυναρτήσεις: για κάθε δισυνάρτηση που είναι κυρτή και κάτω ημισυνεχής ως προς της δεύτερη μεταβλητή, ο μετασχηματισμός Fitzpatrick είναι μια κυρτή και κάτω ημισυνεχής συνάρτηση (ως συνάρτηση δύο μεταβλητών) ορισμένη στο XxX*. Αποδεικνύεται ότι σε περίπτωση που η δισυνάρτηση προκύπτει από μεγιστικά μονότονο τελεστή, τότε ο μετασχηματισμός Fitzpatrick της δισυνάρτησης ισούται με τη συνάρτηση Fitzpatrick του τελεστή. Ο μετασχηματισμός Fitzpatrick χρησιμοποιείται στο τελευταίο κεφάλαιο για να εξαχθούν αποτελέσματα που ισχυροποιούν κατά πολύ κάποια γνωστά αποτελέσματα που αφορούν στη σχέση της μεγιστικότητας μιας μονότονης δισυνάρτησης με τη μεγιστικότητα του αντίστοιχου τελεστή, σε διάφορα αποτελέσματα των Blum-Oettli, και στη συσχέτιση της κυκλικής μονοτονίας δισυναρτήσεων και τελεστών με τη συνάρτηση Fitzpatrick.