Ομολογικές ιδιότητες Frechet και τοπικά C* - αλγεβρών

Abstract

In this thesis, we generalize a characterization of strictly flat cyclic Banach modules over Banach algebras, due to Helemskii and Sheinberg, in the context of Frechet (locally convex) algebras. Specifically, we prove that: “Let A be a Frechet algebra and I a closed left ideal of the unitization A+ of A. Then: (1) If I has a right bounded approximate identity (bai), both I and A+/I are strictly flat Frechet left A-modules and (2) The converse of (1) holds for the cyclic module A+/I, if moreover A is m-convex and I is quasinormable.” To prove (1), we show that: (a) If X is a Frechet right A-module, then the projective tensor products XI, X(A+/I) of X with the Frechet left A-modules I and A+/I, respectively, coincide, up to topological isomorphisms of Frechet spaces, with the submodule X·I (= closed linear span of the set {x·i: xIX, iII}) of X and the quotient space X/X·I, respectively, and thereof that: (b) For every short exact sequence of Frechet right A-modules (C), the sequences (CI) and (C(A+/I)) are exact. To prove (2), we introduce the notion of a smooth (locally convex) module. On the basis of this notion, we prove that: (a) If A is m-convex, then A+/I is a smooth left A-module and, as such, it is represented as an inverse limit of (cyclic) Banach left modules over Banach algebras. In particular, (b) when A+/I is strictly flat, the Banach modules of the previous representation are strictly flat. An application then of the Banach result of Sheinberg yields that I is represented as an inverse limit of Banach algebras each having a right bai. We finally prove that: (c) If I is quasinormable, then it has a right bai too.

Στη διατριβή αυτή γενικεύουμε έναν χαρακτηρισμό των γνήσια επίπεδων κυκλικών Banach προτύπων ως προς Banach άλγεβρες, των Helemskii, Sheinberg, στο πλαίσιο των Frechet (τοπικά κυρτών) αλγεβρών. Συγκεκριμένα, αποδεικνύουμε ότι: «Έστω Α Frechet άλγεβρα και Ι κλειστό αριστερό ιδεώδες της μοναδοποίησης Α+ της Α. Τότε: (1) Αν το Ι έχει δεξιά φραγμένη προσεγγιστική μονάδα (φπμ), τα Ι και Α+/Ι είναι γνήσια επίπεδα Frechet αριστερά A-πρότυπα και (2) Το αντίστροφο του (1) ισχύει για το κυκλικό πρότυπο Α+/Ι, αν επιπλέον η Α είναι π-κυρτή και το Ι ψευδονορμαρίσιμο (quasinormable).» Για την απόδειξη του (1), δείχνουμε ότι: (α) Αν X είναι Frechet δεξιό A-πρότυπο, τότε τα προβολικά τανυστικά γινόμενα ΧΙ, Χ(Α+/Ι) του Χ με τα Frechet αριστερά A-πρότυπα Ι και Α+/Ι, αντίστοιχα, ταυτίζονται, ως προς τοπολογικούς ισομορφισμούς Frechet χώρων, με το υποπρότυπο Χ·I (= κλειστή γραμμική θήκη του συνόλου {x·i: xIX, iII}) του Χ και τον χώρο πηλίκο Χ/Χ·Ι, αντίστοιχα, και ως εκ τούτου, ότι: (β) Για κάθε βραχεία ακριβή ακολουθία Frechet δεξιών A-προτύπων (C), οι ακολουθίες (CΙ) και (C(Α+/Ι)) είναι ακριβείς. Για την απόδειξη του (2), εισάγουμε την έννοια του λείου (τοπικά κυρτού) προτύπου. Βάσει της έννοιας αυτής, αποδεικνύουμε ότι: (α) Αν η Α είναι π-κυρτή, τότε το Α+/Ι είναι λείο αριστερό Α-πρότυπο και, ως τέτοιο, αναπαρίσταται ως αντίστροφο όριο (κυκλικών) Banach αριστερών προτύπων ως προς Banach άλγεβρες. Ιδιαίτερα, (β) όταν το Α+/Ι είναι γνήσια επίπεδο, τα Banach πρότυπα της προηγούμενης αναπαράστασης είναι γνήσια επίπεδα. Από εφαρμογή τότε του Banach αποτελέσματος του Sheinberg προκύπτει ότι το Ι αναπαρίσταται ως αντίστροφο όριο Banach αλγεβρών καθεμία από τις οποίες έχει δεξιά φπμ. Αποδεικνύουμε, τέλος, ότι: (γ) Αν επιπλέον το Ι είναι ψευδονορμαρίσιμο, τότε έχει και το ίδιο δεξιά φπμ.