ΑΝΑΛΥΣΗ ΚΑΤΑ WALSH ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΡΩΝ

Abstract

WE GIVE A CHARACTERIZATION OF THE CONTINUITY OF MEASURES ON LOCALLY COMPACT METRIZABLE GROUPS G, BASED ON THE WALSH ANALYSIS OF MEASURES. WE USE THIS CHARACTERIZATION TO PROVE THAT FOR EVERY COMPACT SET K OF CONTINUOUS MEASURES ON G THERE EXIST A CONTINUOUS AND SINGULAR MEASURE V SUCH THAT ITS CONVOLUTION WITH K GIVES MEASURES ABSOLUTELY CONTINUOUS WITH RESPECT TO THE LEFT HAAR OF G. THE MEASURE V IS A RIESZ PRODUCT WITH WALSH FUNCTIONS OF THE TYPE DN=Π/J=0 (1+AJWΛJ(X))DX. (1) WE ALSO STUDY THE HAUSDORFF DIMENSION OF BOREL SETS OF POSITIVE MEASURE M, WHERE M IS OF THE TYPE (1), AND THEIR RELATION WITH NORMAL NUMBERS.

ΔΙΝΟΥΜΕ ΕΝΑ ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΜΟ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΜΙΑΣ ΤΟΠΙΚΑ ΣΥΜΠΑΓΟΥΣ ΜΕΤΡΙΚΗΣ ΟΜΑΔΑΣ G ΜΕ ΤΗΝ ΒΟΗΘΕΙΑ ΤΩΝ WALSH ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ ΠΟΥ ΟΡΙΖΟΝΤΑΙ Σ'ΑΥΤΕΣ. ΣΤΗΡΙΖΟΜΕΝΟΙ Σ'ΑΥΤΩΝ ΑΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΜΕ ΟΤΙ ΓΙΑ ΚΑΘΕ ΣΥΜΠΑΓΕΣ ΥΠΟΣΥΝΟΛΟ Κ ΤΩΝ ΣΥΝΕΧΩΝ ΜΕΤΡΩΝ ΤΗΣ GΥΠΑΡΧΕΙ ΕΝΑ ΣΥΝΕΧΕΣ ΚΑΙ ΙΔΙΑΖΟΝ ΜΕΤΡΟ V ΤΕΤΟΙΟ ΩΣΤΕ Η ΣΥΝΕΛΙΞΗ ΤΟΥ ΜΕ ΚΑΘΕ ΣΤΟΙΧΕΙΟ ΤΟΥ Κ ΝΑ ΜΑΣ ΔΙΝΕΙ ΜΕΤΡΑ ΑΠΟΛΥΤΩΣ ΣΥΝΕΧΗ ΩΣ ΠΡΟΣ ΤΟ ΑΡΙΣΤΕΡΟ HAAR ΜΕΤΡΟ ΤΗΣ G. ΤΟ ΜΕΤΡΟ V ΠΟΥ ΚΑΤΑΣΚΕΥΑΖΟΥΜΕ ΕΙΝΑΙ ΕΝΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟ RIESZ ME WALSH ΣΥΝΤΑΡΤΗΣΕΙΣ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ DN=P/J=0 (1+AJWΛJ(X))DX. (1). ΜΕΛΕΤΑΜΕ ΑΚΟΜΗ ΤΗ ΔΙΑΣΤΑΣΗ HANSFORFF ΣΥΝΟΛΩΝ ΘΕΤΙΚΟΥ ΜΕΤΡΟΥ Μ, ΟΠΟΥ Μ ΕΙΝΑΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ (1) ΚΑΙ ΤΗ ΣΧΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΟΥΣ ΦΥΣΙΟΛΟΓΙΚΟΥΣ ΑΡΙΘΜΟΥΣ.