Μελέτη συμπεριφοράς υλικών υπό την επίδραση συζευγμένων πεδίων με χρήση αριθμητικών μεθόδων

Abstract

The current use of complex materials in nanotechnology and industrial engineering has led to a number of intricate problems in mechanics. The macroscopic behavior of such materials often depends critically on their substructures. Multi-field theories in continuum mechanics provide the tools for modeling and describing these material substructures. Therefore, the analysis and simulation of multi-field problems have become one of the most actual and vivid areas of research. Although the individual sub-problems of complex technical and physical phenomena often are understood separately, their interaction and coupling create not only new difficulties but also a complete new level and quality of interacting coupled field problems. In this context, the current dissertation deals with the mathematical modeling of dynamic thermoelastic and electroelastic behavior of materials. In view of the prospective application fields, higher order continuum theories are employed, i.e. theories which are capable of reflecting the effects of inner structure through introduction of proper material constants. To be more specific, we extend the well - known models of Green - Lindsay and Lord - Shulman, which combine hyperbolic (non-Fourier) heat transfer for the case of dipolar strain gradient theory (Mindlin, 1964) with micro-inertia effects. The derivation is done on thermodynamic basis and it is specialized for the linear case. Further, we derive the respective classical and mixed weak formulations for application of the finite element technique. In the field of electroelasticity, we formulate the respective models, by extending the well- known Lekhnitskii formalism and introduction of complex potentials. The generalized plane strain case is analyzed in extenso, considering special cases of material symmetries, as well. In the next stage we construct numerical integration methods for Cauchy and finite part integrals. Integrals of this type occur in various fields such as aeroelasticity, electromagnetic scattering, crack problems, the boundary integral equation method and the method of boundary elements. The numerical integration methods in subject are of the Newton-Cotes type, i.e. interpolation type methods which permit the employment of uniform or quasi-uniform grids. We use local (segment-based) Lagrange interpolation of various degrees and analyze the error and convergence of the derived methods for various cases of smoothness of the integrand. The theoretical predictions are validated through numerical applications. In the sequel, the numerical integration methods are formulated in order to become applicable for the solution of singular and hyper-singular integral equations. Such equations occur frequently in case of crack problems. Finally, we solve a central crack problem in a transversely isotropic piezoelectric plate by reduction to a system of singular integral, regular integral and algebraic equations. Parts of the work done in this dissertation have been published in journals and conferences.

Η ταχεία εξέλιξη της νανοτεχνολογίας και της βιομηχανικής τεχνολογίας έχει οδηγήσει στην ανάγκη αντιμετώπισης περίπλοκων προβλημάτων στην περιοχή της μηχανικής των υλικών. Η μακροσκοπική συμπεριφορά των χρησιμοποιούμενων, σε τέτοιες εφαρμογές, υλικών εξαρτάται σε μεγάλο βαθμό από την εσωτερική τους δομή και στην πλειονότητα των περιπτώσεων είναι αποτέλεσμα επίδρασης περισσότερων του ενός πεδίων. Αν και η μεμονωμένη επίδραση πεδίων στα υλικά έχει κατανοηθεί επαρκώς, η σύζευξή τους, σε συνδυασμό με την εσωτερική δομή, δημιουργεί πολλές δυσκολίες και αναδεικνύει μια εντελώς νέα και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα κατηγορία προβλημάτων. Στο πλαίσιο αυτό, το αντικείμενο της παρούσας διατριβής είναι η κατασκευή μαθηματικών και αριθμητικών προσομοιωμάτων δυναμικής θερμοελαστικότητας και ηλεκτροελαστικότητας. Έχοντας υπόψη τις απαιτήσεις των σύγχρονων τεχνολογικών εφαρμογών, χρησιμοποιούμε θεωρίες συνεχούς μέσου ανώτερης τάξης, δηλ. θεωρίες που έχουν εγγενώς τη δυνατότητα να απεικονίσουν την επίδραση της μικρο-δομής των υλικών. Πιο συγκεκριμένα, επεκτείνουμε τα κλασσικά μοντέλα Green - Lindsay και Lord - Shulman ούτως ώστε να συνδυάσουμε την κυματική θεωρία μετάδοσης θερμότητας με τη θεωρία βαθμίδας τροπής (Mindlin, 1964) λαμβάνοντας υπόψη και την επίδραση της μικρο-αδράνειας. Η εξαγωγή των μαθηματικών μοντέλων γίνεται σε θερμοδυναμική βάση και εξειδικεύεται για τη γραμμική περίπτωση. Σαν εφαρμογή επιλύεται ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα γενικευμένης θερμοελαστικότητας με τη χρήση κλασσικών και μικτών πεπερασμένων στοιχείων. Όσον αφορά στην ηλεκτροελαστικότητα, κατασκευάζουμε τα αντίστοιχα μοντέλα με επέκταση της μεθοδολογίας Lekhnitskii και εισαγωγή μιγαδικών δυναμικών. Αναλύουμε εκτενώς την περίπτωση της γενικευμένης επίπεδης παραμόρφωσης και τις σχετικές ειδικές περιπτώσεις που προκύπτουν με βάση τις συμμετρίες του υλικού. Στην επόμενη ενότητα, κατασκευάζουμε κανόνες αριθμητικού υπολογισμού ιδιόμορφων (Cauchy) και υπερ-ιδιόμορφων (Hadamard) ολοκληρωμάτων, τα οποία προκύπτουν συχνά σε διάφορες περιοχές της μαθηματικής φυσικής και της αριθμητικής ανάλυσης (αεροελαστικότητα, ηλεκτρομαγνητική σκέδαση, προβλήματα ρωγμών, συνοριακά στοιχεία, κλπ.). Οι κανόνες αριθμητικής ολοκλήρωσης που αναπτύσσονται στην παρούσα διατριβή είναι παρεμβολικού τύπου Newton-Cotes. Χρησιμοποιούμε τμηματικά συνεχείς παρεμβολές Lagrange μέχρι 3ου βαθμού και αναλύουμε το σφάλμα και την τάξη σύγκλισης για διάφορες περιπτώσεις ομαλότητας της ολοκληρωτέας συνάρτησης. Κατασκευάζεται επίσης ο σχετικός κώδικας Η/Υ για την υλοποίηση των κανόνων αριθμητικής ολοκλήρωσης. Οι θεωρητικές προβλέψεις επιβεβαιώνονται με αριθμητικά παραδείγματα. Στη συνέχεια, οι κανόνες διαμορφώνονται έτσι ώστε να είναι άμεσα εφαρμόσιμοι για την επίλυση ιδιόμορφων και υπεριδιόμορφων ολοκληρωτικών εξισώσεων 1ου και 2ου είδους. Τέλος, επιλύεται αριθμητικά ένα χαρακτηριστικό πρόβλημα κεντρικής ρωγμής σε άπειρη πιεζοηλεκτρική πλάκα με αναγωγή σε σύστημα ιδιόμορφων ολοκληρωτικών, συνήθων ολοκληρωτικών και αλγεβρικών εξισώσεων. Τμήματα της παρούσας διατριβής έχουν κατά καιρούς δημοσιευθεί σε διεθνή επιστημονικά περιοδικά με κριτές και πρακτικά διεθνών επιστημονικών συνεδρίων.