Διαδοχικές προσεγγίσεις και παράλληλοι υπολογισμοί δικτύου / πλέγματος για την καινοτόμο επίλυση ελλειπτικών μερικών διαφορικών εξισώσεων

Abstract

Η επίλυση προβλημάτων συνοριακών τιμών για μερικές διαφορικές εξισώσεις (PDEs) κατέχει κεντρική θέση στα εφαρμοσμένα μαθηματικά. Αναλυτικές μέθοδοι (π.χ. χωριζόμενων μεταβλητών και τεχνικές μετασχηματισμών) παράγουν ακριβείς λύσεις και μας δίνουν και μια ισχυρή αίσθηση για την διαφορική εξίσωση. Όμως το φάσμα των προβλημάτων που λύνουν είναι περιορισμένο). Αριθμητικές μέθοδοι (π.χ. πεπερασμένων στοιχείων, πεπερασμένων διαφορών και φασματικές) είναι ικανές να επιλύσουν ένα ευρύτερο φάσμα προβλημάτων αλλά μόνο προσεγγιστικά. Μερικές μέθοδοι (π.χ. boundary integral methods) συνδυάζουν συγκεκριμένες αναλυτικές πληροφορίες για την λύση μαζί με αριθμητικές προσεγγίσεις. Η παρούσα εργασία ασχολείται με μια μέθοδο που ανήκει στην τελευταία αυτή κατηγορία. Πρόσφατα μια νέα αναλυτική μέθοδος για την μελέτη προβλημάτων συνοριακών τιμών για γραμμικές και για ολοκληρώσιμες μη γραμμικές PDEs σε δύο διαστάσεις εισήχθη από τον καθηγητή Φωκά (βλ. [FOK97, FOK01]). Αυτή η μέθοδος έχει χρησιμοποιηθεί για την επίλυση γραμμικών Ελλειπτικών Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων σε κυρτά πολυγωνικά χωρία [FOK01] παράγοντας αναλυτικές λύσεις σε περιπτώσεις μη αντιμετωπίσιμες από τις κλασικές τεχνικές μετασχηματισμών. Κλειδί σε αυτή την μέθοδο είναι η ολική συνθήκη [PGS99] η οποία συνδέει γνωστές και άγνωστες τιμές της λύσης ή των παραγώγων της λύσης στο σύνορο του χωρίου. Σε περιπτώσεις όπου η ολική συνθήκη μπορεί να λυθεί αναλυτικά η μέθοδος παράγει την λύση σε κλειστή μορφή γενικεύοντας έτσι τις κλασσικές μεθόδους μετασχηματισμών (π.χ. Fourier και Bessel). Στην γενική όμως περίπτωση συνοριακών προβλημάτων η ολική συνθήκη πρέπει να λυθεί αριθμητικά. Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την ανάπτυξη και την μελέτη αποδοτικών αριθμητικών μεθόδων τόσο για την αριθμητική προσέγγιση της ολικής συνθήκης όσο και για την επίλυση του διακριτοποιημένου αναλόγου της. […]