Χαρακτηρισμός πολλαπλοτήτων Kahler με τη βοήθεια μικρών γεωδαισιακών σωλήνων

Abstract

Η παρούσα διατριβή εντάσσεται ερευνητικά στην περιοχή της Διαφορικής Γεωμετρίας Riemann και ειδικότερα στο χαρακτηρισμό πολλαπλοτήτων Kahler με τη βοήθεια μικρών γεωδαισιακών σωλήνων. Επίσης, γίνεται μελέτη των σωληνοειδών επιφανειών του τρισδιάστατου Lorentz-Minkowski χώρου Μ3, όπως επίσης και των ελικοειδών επιφανειών αυτού του χώρου, των οποίων η μέση καμπυλότητα δεν είναι σταθερή. Στο Κεφάλαιο 1 έγινε μια σύντομη ιστορική αναδρομή στο πρόβλημα του χαρακτηρισμού πολλαπλοτήτων Riemann με τη βοήθεια μικρών γεωδαισιακών σφαιρών και μικρών γεωδαισιακών σωλήνων, καθώς και στο πρόβλημα της εξέτασης των επιφανειών με σταθερή ή μη σταθερή μέση καμπυλότητα και ειδικότερα του καθορισμού συγκεκριμένων ειδών επιφανειών (εκ περιστροφής, ευθειογενών, ελικοειδών, κ.λπ.) του Ευκλείδειου χώρου R3 καθώς και του Lorentz-Minkowski χώρου Μ3. Στο Κεφάλαιο 2 παρουσιάζονται βασικές έννοιες της Διαφορικής Γεωμετρίας, όπως οι Ευκλείδειες πολλαπλότητες, οι διαφορίσιμες πολλαπλότητες, οι διαφορίσιμες συναρτήσεις πάνω σε πολλαπλότητα, ο εφαπτόμενος χώρος, τα διανυσματικά πεδία, τα τανυστικά πεδία πάνω σε πολλαπλότητα, οι γραμμικές συνδέσεις, οι πολλαπλότητες Riemann, η συναλλοίωτη παράγωγος, οι γεωδαισιακές, η εκθετική απεικόνιση, η καμπυλότητα τομής καθώς και οι υποπολλαπλότητες δοθείσης πολλαπλότητας. Στο Κεφάλαιο 3 αρχικά παρατίθενται οι έννοιες των πολλαπλοτήτων Kahler, των συντεταγμένων Fermi, των διανυσματικών πεδίων Jacobi, καθώς και των σωληνοειδών υπερεπιφανειών γύρω από μια γεωδαισιακή και γύρω από μια υποπολλαπλότητα δοθείσης πολλαπλότητας. Παρουσιάζονται επίσης, για λόγους πληρότητας και κατανόησης, οι αποδείξεις των Λημμάτων 3.3.1 και 3.3.3 οι οποίες βρίσκονται στην εργασία με τίτλο “A characterization of Sasakian space forms by geodesic tubes” των D. E. Blair και B. J. Papantoniou [7]. Στη συνέχεια χαρακτηρίζονται οι πολλαπλότητες Kahler (M2n, g, J) που έχουν σταθερή ολομορφική καμπυλότητα τομής με τη βοήθεια του τελεστή σχήματος, αρκούντως μικρών γεωδαισιακών σωλήνων της Μ, γύρω από μια εμφυτευμένη γεωδαισιακή αυτής. Ο χαρακτηρισμός αυτός περιέχεται στο Θεώρημα 3.4.4 και επιτυγχάνεται με τη βοήθεια της Πρότασης 3.3.2 και των Θεωρημάτων 3.4.1 και 3.4.3 τα οποία αποδεικνύονται νωρίτερα. Τα αποτελέσματα αυτά είναι πρωτότυπα και ένα μέρος αυτών έχει δημοσιευτεί στην εργασία με τίτλο “Jacobi vector fields and geodesic tubes in certain Kahler manifolds” [1], Στο Κεφάλαιο 4 γενικεύεται η ως άνω ιδέα. Ειδικότερα, αντί να θεωρήσουμε γεωδαισιακή (υποπολλαπλότητα διάστασης ένα) της προς χαρακτηρισμό 2π-διάστατης πολλαπλότητας Μ, θεωρούμε μια συνεκτική, ολικά γεωδαισιακή, με συμπαγές περίβλημα, εμφυτευμένη υποπολλαπλότητα Ρ αυτής, διάστασης q (q < 2n— 1). Στη συνέχεια, κατασκευάζουμε τις σωληνοειδείς υπερεπιφάνειες της Μ γύρω από την υποπολλαπλότητα και δίνουμε το χαρακτηρισμό της πολλαπλότητας στο Θεώρημα 4.2.4 με τη βοήθεια της Πρότασης 4.1.2, του Λήμματος 4.1.1 και των Θεωρημάτων 4.2.1 και 4.2.3. Τα αποτελέσματα αυτού του Κεφαλαίου είναι επίσης πρωτότυπα. Ένα μέρος αυτών έχει δημοσιευθεί στην εργασία με τίτλο “Tubes and the geometry of the Kähler manifolds” [2], Στο Κεφάλαιο 5 επιλύεται το πρόβλημα της εύρεσης των ελικοειδών επιφανειών, ως προς ένα χωροειδή και ένα χρονοειδή άξονα περιστροφής του Lorentz-Minkowski χώρου R^31, με μέση καμπυλότητα μια δοσμένη διαφορίσιμη συνάρτηση. Το πρόβλημα αυτό αναφέρεται στα Θεωρήματα 5.1.3 και 5.1.4. Στη συνέχεια, στην Πρόταση 5.2.1, αποδεικνύεται ότι η κοινή ελικοειδής καθώς και η αλυσσοειδής επιφάνεια, τύπου Ι-, είναι αρμονικές επιφάνειες στον R^31, όπως επίσης ότι ΔΝ = 2ΚΝ, όπου Κ είναι η καμπυλότητα Gauss, Ν το μοναδιαίο κάθετο διανυσματικό πεδίο των αντίστοιχων επιφανειών και Δ ο τελεστής του Laplace. Στη συνέχεια, ορίζονται οι σωληνοειδείς επιφάνειες του R^31 και στην Πρόταση 5.2.2 αποδεικνύεται ότι οι σωληνοειδείς επιφάνειες γύρω από μια υπερβολική έλικα, είναι επιφάνειες τύπου Ι- των οποίων η καμπυλότητα Gauss είναι ανεξάρτητη του μήκους τόξου s της έλικας και εξαρτάται μόνο από την παράμετρο θ της υπερβολικής στροφής. Επίσης, στην ίδια Πρόταση, αναλύεται το διάνυσμα ΔR στη μορφή Β(θ)η + C(θ)b, όπου R είναι το διάνυσμα θέσης των σωληνοειδών επιφανειών γύρω από μια υπερβολική έλικα, Β(θ), C(θ) είναι γνωστές συναρτήσεις της γωνίας θ των υπερβολικών περιστροφών του επιπέδου R^21 και n, b είναι το πρώτο και δεύτερο μοναδιαίο κάθετο διάνυσμα της υπερβολικής έλικας, αντίστοιχα. Αυτά τα αποτελέσματα είναι πρωτότυπα και έχουν δημοσιευτεί στην εργασία με τίτλο “Helicoidal surfaces in 3-dimensional Minkowski space” [5].