Εντοπισμός και γραμμική απόκριση ηλεκτρονίων στο άτακτο πλέγμα

Abstract

The study of the localization, and transport properties in disordered systems is considered to be a hard theoretical problem. The localization problem has been given considerable attention in the literature while the transport one has rarely been studied in depth, because it constitutes an even harder quantum mechanical problem. In the present thesis we developed for the first time a method of exact calculation of the localization and transport properties of non-interacting electrons in disordered systems, based on the calculation of probability distributions of variables properly derived from the Green's function of the problem. Such a calculation became feasible when we considered our system to obey a tight binding model with diagonal disorder and furthermore that its lattice sites form a Bethe lattice. The special Bethe lattice topology allows for the calculation of the necessary probability distributions through closed integral expressions. Using these probability distributions we calculated the exact localization and diffusion properties and the mobility edges more specifically which we compared with approximate results given in the literature. In studying the transport properties we succeeded to express the electrical response through factors representing the "local" response of the various parts of our system to external potential gradients applied "locally" too. The use of such expressions involving "local" conductances gives us a great advantage by allowing for the calculation of their statistical behavior through the probability distributions mentioned above. We investigate likewise the conductivity properties thoroughly and from various points of view, since it is a very important field in which few exact results exist, especially as far as the microstructure of the system dynamic response is concerned. We thus study the "local" conductance as a function of the frequency ω, for EF in (i) the localized and (ii) the extended states part of the energy spectrum and we focus mainly in the small ω regime. All respective results reveal the possibility of this quantity to bring about the response properties of the system at the microscopic level. We conclude our thesis with a critical review and a discussion of the present and prospective achievements of the work.

Η μελέτη των ιδιοτήτων εντοπισμού και μεταφοράς στα άτακτα συστήματα θεωρείται δυσεπίλυτο θεωρητικό πρόβλημα. Τα θέματα εντοπισμού έχουν απασχολήσει έντονα την βιβλιογραφία ενώ αυτά της μεταφοράς αν και σημαντικότατα έχουν ελάχιστα μελετηθεί σε βάθος γιατί αποτελούν ένα ακόμα δυσκολότερο κβαντομηχανικό πρόβλημα. Στην παρούσα διατριβή αναπτύξαμε για πρώτη φορά μια μέθοδο ακριβούς υπολογισμού των ιδιοτήτων εντοπισμού και μεταφοράς μη αλληλεπιδρώντων ηλεκτρονίων στα άτακτα, που βασίζεται στον υπολογισμό των κατανομών πιθανότητας καταλλήλων μεγεθών που παράγονται από συναρτήσεις Green του προβλήματος. Τέτοιος υπολογισμός έγινε εφικτός όταν θεωρήσαμε ότι το σύστημα μας υπακούει ένα μοντέλο ισχυρού δεσμού με αταξία στα διαγώνια στοιχεία και επιπλέον ότι τα πλεγματικά σημεία του συστήματος μας σχηματίζουν ένα πλέημα Bethe. Η ειδική τοπολογία του Bethe επιτρέπει τον υπολογισμό των απαραίτητων κατανομών πιθανότητας μέσα από κλειστές ολοκληρωτικές εκφράσεις. Με τη βοήθεια αυτών των κατανομών πιθανότητας υπολογίσαμε ακριβώς τις ιδιότητες εντοπισμού και διάχυσης και τα όρια ευκινησίας ειδικότερα, τα οποία και συγκρίναμε με προσεγγιστικά αποτελέσματα της βιβλιογραφίας. Στη μελέτη των ιδιοτήτων μεταφοράς πετύχαμε να εκφράσουμε για πρώτη φορά την ηλεκτρική απόκριση μέσα από παράγοντες "τοπικής"απόκρισης των διαφόρων μερών του συστήματος σε εξωτερικές βαθμίδες δυναμικού που εφαρμόζονται επίσης "τοπικά". Η χρήση τέτοιων εκφράσεων με τις "τοπικές" αγωγιμότητες μας δίνει ένα μεγάλο πλεονέκτημα: ότι μπορούμε να υπολογίσουμε τη στατιστική συμπεριφορά αυτών, μέσω των κατανομών πιθανότητας που αναφέραμε παραπάνω. Διερευνούμε λοιπόν διεξοδικά και από πολλές σκοπιές τις ιδιότητες αγωγιμότητας επειδή πρόκειται για ένα τομέα πολύ σημαντικό αλλά και αρκετά φτωχό σε ακριβή αποτελέσματα, ιδιαίτερα όσον αφορά την μικροδομή της δυναμικής απόκρισης του συστήματος. Μελετούμε την "τοπική"αγωγιμότητα συναρτήσει της συχνότητας ω για ΕF στις (i) εντοπισμένες και (ii) εκτεταμένες καταστάσεις και εστιάζουμε ιδιαίτερα στην περιοχή των μικρών ω. Διαπιστώνουμε μέσα από όλα τα σχετικά αποτελέσματα, την δυνατότητα αυτού του μεγέθους να αναδεικνύει τις ιδιότητες απόκρισης τον συστήματος σε μικροσκοπικό επίπεδο. Η διατριβή τελειώνει με μια κριτική ανακεφαλαίωση των επιτευγμάτων της εργασίας και συζήτηση των προοπτικών επέκτασης τους.