Ποιοτική μελέτη των λύσεων εξισώσεων διαφορών

Abstract

The theory of difference equations played an important role in various branches of Mathematics as the Numerical Analysis, the Combinational Analysis, the Special Functions, the Rectangular Polunomials, the Discrete Mathematics, the Computer Science, the Theory of Chaos and Fractals etc are. The systematic theoritical study of Difference Equations depended on the research of the theory of Dynamical Systems. The present doctoral thesis is that we study the total behavior of solutions regarding equilibrium points. We achieve our results of difference equations that we study with the discovery of invariants, from which we come to a conclusion that the solutions are bounded to positive numbers. We also study the description of semi-cycles, the oscillation and the existence of periodical solutions. With the use of computers the solutions of difference equations are calculated numerically. On the other hand, remarkable properties are observed regarding the structure and the regular or not regular behavior of solutions of our equations. Certainly the observations in the computer constitute simple indications and consequently we need to confirm our conclusions by proving them mathematically. From the equations that we studied we could establish mathematical models in economic and social sciences, biology, ecology, physics, mechanics and various applied sciencies. In a lot of cases the initial conjecture of a theorem was attained through the computer by using specific numerical data. Many of the formulas that resulted could constitute more general algorithms in certain cases.

Η θεωρία των εξισώσεων διαφορών έπαιξε βασικό ρόλο σε ένα πλήθος κλάδων των μαθηματικών όπως είναι η Αριθμητική Ανάλυση, η Συνδυαστική Ανάλυση, οι Ειδικές Συναρτήσεις και τα Ορθογώνια Πολυώνυμα, τα Προβλήματα Συνωριακών Τιμών, οι Συνήθεις και με Μερικές Παραγώγους Διαφορικές Εξισώσεις, τα Διακριτά Μαθηματικά, η Επιστήμη των Ηλεκτρονικών υπολογιστών, η Θεωρία του Χάουσ και τα Φράκταλς κ.λ.π. Η συστηματική θεωρητική μελέτη των Εξισώσεων Διαφορών βασίστηκε στην εμπεριστατωμένη από πολλών ετών έρευνα της θεωρίας των Δυναμικών Συστημάτων. Σκοπός της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι να μελετήσουμε την ολική συμπεριφορά των λύσεων σχετικά με τη θέση ισορροπίας. Αυτό το επιτυγχάνουμε κυρίως με την εξεύρεση αναλλοιωτών των αντίστοιχων μορφών εξισώσεων διαφορών που μελετούμε, απο τις οποίες συνεπάγεται αν οι λύσεις είναι φραγμένες απο θετικούς αριθμούς. Μελετούμε επίσης, την περιγραφή των ημικύκλων των λύσεων, την ταλάντωση και την ύπαρξη περιοδικών λύσεων. Με τη χρήση των ηλεκτρονικών υπολογιστών υπολογίζονται αριθμητικές λύσεις των εξισώσεων διαφορών. Παράλληλα παρατηρούνται αξιοσημείωτες ιδιότητες ανφορικά με τη δομή και την κανονική ή μη κανονική συμπεριφορά των λύσεων αυτών των εξισώσεων. Ασφαλώς οι παρατηρήσεις στον υπολογιστή αποτελούν απλώς ενδείξεις και συνεπώς στη συνέχεια τεκμηριώνουμε με μαθητικές αποδείξεις τα συμπεράσματα μας. Πολλές απο τις εξισώσεις που μελετήσαμε θα μπορούσαν μελλοντικά να αποτελέσουν μαθηματικά μοντέλα σε οικονομικές και κοινωνικές επιστήμες, στην βιολογία στην οικολογία, στη φυσική, στη μηχανική και σε άλλες εφαρμοσμένες επιστήμες. Σε πολλές περιπτώσεις η αρχική εικασία της ισχύος ενός θεωρήματος επιτεύχθηκε με τον υπολογιστή χρησιμοποιώντας συγκεκριμένα αριθμητικά δεδομένα. Πολλοί απο τους τύπους που προέκυψαν μπορούν να αποτελέσουν γενικότερα αλγόριθμους σε ορισμένες περιπτώσεις.