Η συμβολή δραστηριοτήτων δημιουργίας προβλήματος στην ανάπτυξη της μαθηματικής συνήθειας του νου για την αναζήτηση και χρήση της δομής

Abstract

Problem posing has been recognized as an important and cognitively demanding process by the Mathematics Education research community. It is widely accepted that problem-posing activities can promote students’ conceptual understanding, enhance their ability to reason and communicate in a mathematical way by having their curiosity and their interest being challenged. Problem posing started attracting the attention of the research community since the 80’s and then more and more researchers started investigating the added contribution of problem posing in teaching and learning Mathematics. The purpose of this dissertation is to bridge two different areas in Mathematics education: Problem posing and Mathematical Habits of mind. The purpose of this connection is to highlight the contribution of the accumulated experience in problem posing in the students’ problem posing ability through a teaching intervention focusing on both their qualitative and their quantitative characteristics and the development of the habit of mind about seeking and using structure. This dissertation proceeds at two levels. First, it will be examined how the development of the habit of mind about seeking and using structure is related to the selection of more or less cognitively demanding problem posing strategies, which are acquired with accumulated experience in problem posing. Second, it will be examined how the accumulated experience affects the quality of problem posing by examining the mathematical complexity of the posed problems and by combining different aspects of complexity such as the solvability of the problems and the number of the semantic relations identified in the posed problems. The students participated in an initial problem-posing session prior to the intervention in order to record the type and the number of problems that they can pose with zero relevant experience. Six problem-posing cycles followed during a whole school year consisting of four phases each. After the intervention, another problem-posing session took place asking the participants to work with the same problem that was given in their initial (prior to the intervention) session. The results of this study have shown that the accumulated experience on problem posing had a positive effect to both the students’ ability to pose problems with increased qualitative characteristics (solvability, number of problems, openness, mathematical complexity, number of semantic relations) and the students’ development of the habit of mind about seeking and using structure, which is considered a vital skill for problem posing. The students started with problem-posing strategies that were limited to changing only the surface characteristics of the problems. Gradually, they moved towards more cognitively demanding problem-posing strategies, which indicate the understanding of the deeper structure of the given problem so as to be able to modify this structure to pose new problems.

Η δημιουργία ενός μαθηματικού προβλήματος έχει αναγνωριστεί ως μια πολύ σημαντική και νοητικά απαιτητική διαδικασία από την ερευνητική κοινότητα της Διδακτικής των Μαθηματικών αναγνωρίζοντας επιπλέον ότι τέτοιες δραστηριότητες μπορούν να προωθήσουν την εννοιολογική κατανόηση των μαθητών, να ενισχύσουν την ικανότητά τους να επιχειρηματολογούν και να επικοινωνούν με μαθηματικό τρόπο κεντρίζοντας το ενδιαφέρον και την περιέργειά τους. Η δημιουργία προβλήματος άρχισε να απασχολεί την ερευνητική κοινότητα από τη δεκαετία του’80 και από εκεί και έπειτα όλο και περισσότεροι ερευνητές ξεκίνησαν να διερευνούν τι επιπλέον μπορεί να προσφέρει η δημιουργία προβλήματος στη διαδικασία και τη μάθηση των Μαθηματικών. Σκοπός της διδακτορικής διατριβής είναι η γεφύρωση δύο διαφορετικών περιοχών της διδακτικής Μαθηματικών: της δημιουργίας προβλήματος και των μαθηματικών συνηθειών του νου. Μέσα από τη σύνδεση αυτών των περιοχών, σκοπός είναι η ανάδειξη της συμβολής της συσσωρευμένης εμπειρίας στη δημιουργία προβλήματος μέσα από μια διδακτική παρέμβαση τόσο στην ικανότητα παραγωγής προβλημάτων (με έμφαση στα ποσοτικά και στα ποιοτικά τους χαρακτηριστικά) όσο και στην ανάπτυξη της συνήθειας του νου για την αναζήτηση και χρήση της δομής. Η διατριβή αυτή σκοπεύει να κινηθεί σε δύο επίπεδα. Πρώτον, να εξετάσει το πώς η απόκτηση αυτής της μαθηματικής συνήθειας του νου για την «αναζήτηση και χρήση της δομής» συνδέεται με την επιλογή και χρήση λιγότερο ή περισσότερο απαιτητικών γνωστικά στρατηγικών δημιουργίας προβλήματος που αποκτώνται με τη συσσωρευμένη εμπειρία στη δημιουργία προβλήματος. Δεύτερον, να εξεταστεί πώς η απόκτηση αυτής της συνήθειας του νου επιδρά στην ποιοτική δημιουργία προβλήματος. Για τον σκοπό αυτόν, μελετάται η μαθηματική πολυπλοκότητα των παραγόμενων προβλημάτων σε συνδυασμό με όψεις αυτής της πολυπλοκότητας, όπως η επιλυσιμότητα των προβλημάτων και ο αριθμός των σημασιολογικών τους σχέσεων. Προκειμένου να καταγραφεί το είδος και το πλήθος των προβλημάτων που μπορούν να δημιουργήσουν οι μαθητές όταν δεν έχουν καμία εμπειρία στη δημιουργία προβλήματος, οι μαθητές συμμετείχαν σε μια αρχική συνεδρία δημιουργίας προβλήματος πριν την κυρίως παρέμβαση. Στη συνέχεια, ακολούθησαν έξι κύκλοι δημιουργίας προβλήματος κατά τη διάρκεια του σχολικού έτους αποτελούμενοι από τέσσερις φάσεις ο καθένας. Τέλος, μετά την ολοκλήρωση του έκτου κύκλου, οι μαθητές συμμετείχαν σε μια ακόμη συνεδρία Δημιουργίας Προβλήματος με αφορμή το ίδιο πρόβλημα που τους είχε δοθεί στην αρχική συνεδρία. Τα αποτελέσματα της έρευνας έδειξαν ότι η συσσωρευμένη εμπειρία στη Δημιουργία Προβλήματος έχει θετική συμβολή στην ικανότητα παραγωγής προβλημάτων με αυξημένα ποιοτικά χαρακτηριστικά (επιλυσιμότητα, πλήθος, ανοικτότητα, μαθηματική πολυπλοκότητα, πλήθος σημασιολογικών σχέσεων που εμφανίζονται στα παραγόμενα προβλήματα), αλλά και στην ανάπτυξη της συνήθειας του νου για την «αναζήτηση και χρήση της δομής» που αποτελεί σημαντική δεξιότητα για τη δημιουργία προβλήματος. Οι μαθητές σταδιακά μετακινήθηκαν από στρατηγικές δημιουργίας προβλήματος που περιορίζονταν στην τροποποίηση επιφανειακών χαρακτηριστικών των προβλημάτων προς περισσότερο απαιτητικές γνωστικά στρατηγικές δημιουργίας προβλήματος που φανέρωναν αναγνώριση της βαθύτερης δομής του δοσμένου προβλήματος και τροποποίηση αυτής της δομής προκειμένου να δημιουργήσουν νέα προβλήματα.