Numerical solution of systems of ODEs with applications in chemistry and physics

Abstract

The thesis focuses on the development and application of numerical methods for solving systems of differential equations in various scientific disciplines such as applied mathematics, computer science, computational physics and chemistry. The research explores the efficiency and effectiveness of different numerical integration techniques, particularly in addressing problems related to the Schrödinger equation, the N-body problem and other real-world issues described by ordinary differential equations with oscillatory solutions. The key contributions of the thesis include the development of linear multistep methods, including single-stage linear multistep methods and hybrid methods, by notable researchers such as Quinlan, Tremaine, Paptis, Allison, Raptis, Simos, Kalogiratou and others. These methods, with constant coefficients and varying orders, have been proposed for the integration of orbital problems, the Schrödinger equation, and other complex systems. The document also discusses the historical evolution of numerical methods, from early works by Euler, Runge, and Kutta to modern approaches like Runge-Kutta methods and Runge-Kutta-Nyström methods. It emphasises the importance of numerical methods in approximating solutions to differential equations for practical applications in physics, engineering, and other scientific fields. Overall, the thesis provides a comprehensive overview of numerical methods, their theoretical foundations, and practical applications, aiming to contribute to the advancement of computational techniques for solving differential equations in diverse scientific domains.

Η διατριβή εστιάζει στην ανάπτυξη και εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων επίλυσης συστημάτων διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους επιστημονικούς κλάδους όπως τα εφαρμοσμένα μαθηματικά, η πληροφορική, η υπολογιστική φυσική και η χημεία. Η έρευνα διερευνά την αποδοτικότητα και την αποτελεσματικότητα διαφορετικών τεχνικών αριθμητικής ολοκλήρωσης, ιδιαίτερα στην αντιμετώπιση προβλημάτων που σχετίζονται με την εξίσωση Schrödinger, το πρόβλημα του σώματος N και άλλα ζητήματα του πραγματικού κόσμου που περιγράφονται από συνηθισμένες διαφορικές εξισώσεις με ταλαντωτικές λύσεις. Οι βασικές συνεισφορές της διατριβής περιλαμβάνουν την ανάπτυξη γραμμικών μεθόδων πολλαπλών βημάτων, συμπεριλαμβανομένων γραμμικών μεθόδων πολλαπλών βημάτων ενός σταδίου και υβριδικών μεθόδων, από αξιόλογους ερευνητές όπως οι Quinlan, Tremaine, Paptis, Allison, Raptis, Simos, Kalogiratou και άλλοι. Αυτές οι μέθοδοι, με σταθερούς συντελεστές και μεταβαλλόμενες τάξεις, έχουν προταθεί για την ολοκλήρωση τροχιακών προβλημάτων, της εξίσωσης Schrödinger και άλλων πολύπλοκων συστημάτων. Το έγγραφο εξετάζει επίσης την ιστορική εξέλιξη των αριθμητικών μεθόδων, από πρώιμα έργα των Euler, Runge και Kutta σε σύγχρονες προσεγγίσεις όπως οι μέθοδοι Runge-Kutta και οι μέθοδοι Runge-Kutta-Nyström. Τονίζει τη σημασία των αριθμητικών μεθόδων για την προσέγγιση λύσεων σε διαφορικές εξισώσεις για πρακτικές εφαρμογές στη φυσική, τη μηχανική και άλλα επιστημονικά πεδία. Συνολικά, η διατριβή παρέχει μια ολοκληρωμένη επισκόπηση των αριθμητικών μεθόδων, των θεωρητικών τους θεμελίων και των πρακτικών εφαρμογών τους, με στόχο να συμβάλει στην πρόοδο των υπολογιστικών τεχνικών για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων σε διάφορους επιστημονικούς τομείς.