Ένα ημι-περιοδικό πρόβλημα αρχικών τιμών για την εξίσωση Kadomtsev-Petviashvili II

Abstract

We investigate the Cauchy problem on the cylinder, namely the semi-periodic problem where there is periodicity in the x direction and decay in the y direction, for the Kadomtsev-Petviashvili II equation by the inverse spectral transform method. For initial data with small L^1 and L^2 norms, assuming the zero mass constraint, this initial-value problem is reduced to a Riemann--Hilbert problem on the boundary of certain infinite strips with shift.

Στην παρούσα διδακτορική διατριβή θεωρούμε το πρόβλημα Cauchy στον κύλινδρο (S^1 x R) για την μη γραμμική μερική διαφορική εξίσωση Kadomtsev-Petviashvili II, με μία χρονική (t) και δύο χωρικές (x, y) ανεξάρτητες μεταβλητές, με περιοδικότητα στην x διεύθυνση και ελάττωση στο μηδέν στην y διεύθυνση. Λόγω της ύπαρξης ζεύγους Lax γίνεται χρήση της μεθόδου αντίστροφου φασματικού μετασχηματισμού. Για αρχικά δεδομένα με μικρές L^1 και L^2 νόρμες - υποθέτοντας και τη συνθήκη μηδενικής μάζας - το πρόβλημα αρχικών τιμών ανάγεται σε ένα πρόβλημα Riemann-Hilbert με μετατόπιση, στο σύνορο συγκεκριμένων άπειρων λωρίδων στο μιγαδικό επίπεδο της φασματικής παραμέτρου. Τα φασματικά προβλήματα, ευθύ και αντίστροφο, επιλύονται αυστηρά και αποδεικνύουμε ότι το πρόβλημα αρχικών τιμών έχει μοναδική λύση στον χώρο L^2(S^1 x R) για κάθε t μη αρνητικό, ομοιόμορφα φραγμένη για κάθε t, με την υπόθεση ότι τα αρχικά δεδομένα έχουν μικρές παραγώγους μέχρι και 8ης τάξης στους χώρους L^1(S^1 x R) και L^2(S^1 x R).