On the subgroup permutability degree of some finite simple groups

Abstract

Consider a finite group G and subgroups H, K of G. We say that H and K permute if HK=KH and call H a permutable subgroup if H permutes with every subgroup of G. A group G is called quasi-Dedekind if all subgroups of G are permutable. We can define, for every finite group G, an arithmetic quantity that measures the probability that two subgroups (chosen uniformly at random with replacement) permute and we call this measure the subgroup permutability degree of G. This measure quantifies, among others, how close a finite group is to being quasi-Dedekind, or, equivalently, nilpotent with modular subgroup lattice. The main body of this thesis is concerned with the behaviour of the subgroup permutability degree of the two families of finite simple groups PSL_2(2^n), and Sz(q). In both cases the subgroups of the two families of simple groups are completely known and we shall use this fact to establish that the subgroup permutability degree in each case vanishes asymptotically as n or q respectively tends to infinity. The final chapter of the thesis deviates from the main line to examine groups, called F-groups, which behave like nilpotent groups with respect to the Frattini subgroup of quotients. Finally, we present in the Appendix joint research on the distribution of the density of maximal order elements in general linear groups and offer code for computations in GAP related to permutability.

Έστω πεπερασμένη ομάδα G και υποομάδες H, K της G. Λέμε ότι οι H και K αντιμετατίθενται αν HK=KH και ονομάζουμε την H αντιμετατεθική υποομάδα αν η H αντιμετατίθεται με κάθε υποομάδα της G. Μια ομάδα G ονομάζεται ψευδο-Dedekind αν όλες οι υποομάδες της G είναι αντιμετατεθικές. Μπορούμε να ορίσουμε, για κάθε πεπερασμένη ομάδα G, μια αριθμητική ποσότητα που μετρά την πιθανότητα δύο υποομάδες (που επιλέγονται ομοιόμορφα τυχαία με αντικατάσταση) να αντιμετατίθενται και ονομάζουμε αυτό το μέτρο βαθμό αντιμετατεθικότητας υποομάδων της G. Το μέτρο αυτό ποσοτικοποιεί, μεταξύ άλλων, το πόσο κοντά είναι μία πεπερασμένη ομάδα στο να είναι ψευδο-Dedekind, ή, ισοδύναμα, μηδενοδύναμη με μονοκόρυφο πλέγμα υποομάδων. Το κύριο μέρος αυτής της διατριβής ασχολείται με τη συμπεριφορά του βαθμού μεταβλητότητας υποομάδων των δύο οικογενειών πεπερασμένων απλών ομάδων PSL_2(2^n) και Sz(q). Και στις δύο περιπτώσεις οι υποομάδες των δύο οικογενειών απλών ομάδων είναι πλήρως γνωστές και θα χρησιμοποιήσουμε αυτό το γεγονός για να αποδείξουμε ότι ο βαθμός αντιμετατεθικότητας υποομάδων σε κάθε περίπτωση συγκλίνει στο 0 καθώς το n ή q αντίστοιχα τείνει στο άπειρο. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής παρεκκλίνει από την κύρια γραμμή για να εξετάσει ομάδες, που ονομάζονται F-ομάδες, οι οποίες συμπεριφέρονται σαν μηδενοδύναμες ομάδες ως προς την υποομάδα Frattini των πηλίκων. Τέλος, παρουσιάζουμε στο Παράρτημα κοινή έρευνα για την κατανομή της πυκνότητας των στοιχείων μέγιστης τάξης σε γενικές γραμμικές ομάδες και προσφέρουμε κώδικα για υπολογισμούς στο GAP που σχετίζονται με την αντιμετατεθικότητα.