Μελέτη της γραμμικής και μη-γραμμικής συμπεριφοράς σύνθετων ελαστικών πιεζοηλεκτρικών δομών με διατμητικές θεωρίες ανώτερης τάξης

Abstract

In engineering problems of elastic and piezoelectric beams with large displacements, the displacements are of the same order of magnitude as the thickness of the beam. In these cases, linear beam theories do not produce accurate results as they cannot predict the in-plane movements of the beam. For this reason, it is necessary to develop nonlinear theories (large deformation theories) that take into account the geometric nonlinearity to remove related inconsistencies and study such problems. In this thesis, static and dynamic problems of beams with large displacements for both elastic and piezoelectric beams are studied. First, equations of motion and boundary conditions are derived by using a variational principle, the "Hamilton’s Principle". Subsequently, the influence of geometric nonlinearities is studied and an attempt to solve analytically the linear and nonlinear equations of motion in static problems such as bending problems and in dynamic problems such as vibration problems in beams is made. To begin with, the first part of this thesis consists of the theoretical background of the study. More specifically, in Chapter 1, the technical beam theories are presented and the Euler-Bernoulli and Timoshenko beam theories are analyzed. Chapter 2 discusses the concept of nonlinearity, the main sources of nonlinearity in engineering problems and focuses on geometric nonlinearity which is the main source of nonlinearity in this study. Chapter 3 provides an introduction to piezoelectric materials. Smart materials and the categories of such materials are introduced. Their main applications, the direct and inverse piezoelectric effect and the basic equations of piezoelectricity are mentioned. Chapter 4 presents composite materials, their main categories and their main applications. In addition, emphasis is given to composite multilayer materials of the sandwich type with piezoelectric and elastic layers in problems with applications in areas such as sensors and actuators. The second part of this thesis consists of the mathematical modelling of static and dynamic problems of elastic and piezoelectric beams. More specifically, Chapter 5 presents the theoretical formulation of elastic beam bending problems using various technical higher order shear theories. The equations of motion and the corresponding boundary conditions for static and dynamic elastic beam problems are derived. Static and dynamic problems for all linear models are solved and numerical results are presented. In Chapter 6, nonlinear technical shear theories in elastic beams are discussed. Then, by means of the "Hamilton’s Principle", the equations of motion and the corresponding boundary conditions for higher order nonlinear technical shear theories of elastic beams with large displacements are derived. Relevant bending problems of elastic beams are solved taking into account the geometric nonlinearity and numerical results are presented. Subsequently, the models described in Chapters 5 and 6 are then extended for piezoelectric beams and described in Chapters 7 and 8. More specifically, in Chapter 7, the linear equations of motion and boundary conditions for piezoelectric beams are derived. Then, an analytical solution of static and dynamic problems of piezoelectric beams with higher order shear theories is carried out and numerical results are presented. Chapter 8 deals with the theoretical formulation of piezoelectric beams with higher-order shear theories considering geometric nonlinearity. The nonlinear equations of motion and the corresponding boundary conditions are derived. Then, an analytical method for solving the nonlinear equations is proposed and numerical results are presented. The last chapter of the thesis presents the modelling of composite multilayer elastic and piezoelectric beams in bending problems using higher order shear deformation theories. In particular, Chapter 9 formulates the equations of motion and boundary conditions of linear elastic and piezoelectric composite multilayer beams in bending problems. The corresponding equations of motion and boundary conditions are then formulated for elastic and piezoelectric composite multilayer beams with von Karman-type geometric nonlinearities. The third part of this thesis consists of the conclusions derived from the research as well as relevant suggestions for future research. The bibliography, relevant publications and the relevant appendices are also presented.

Σε προβλήματα μηχανικής ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις, οι μετατοπίσεις είναι ίδιας τάξης μεγέθους με το πάχος της δοκού. Στις περιπτώσεις αυτές, οι γραμμικές θεωρίες δοκών δεν παράγουν ακριβή αποτελέσματα καθώς δεν μπορούν να προβλέψουν τις εντός επιπέδου μετακινήσεις της δοκού. Για το λόγο αυτό, είναι απαραίτητη η ανάπτυξη μη γραμμικών θεωριών (θεωρίες μεγάλων παραμορφώσεων) που λαμβάνουν υπόψη τη γεωμετρική μη γραμμικότητα για την άρση σχετικών ασυνεπειών και τη μελέτη τέτοιου είδους προβλημάτων. Στην εργασία, αυτή, μελετώνται στατικά και δυναμικά προβλήματα δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις τόσο σε ελαστικές όσο και σε πιεζοηλεκτρικές δοκούς. Αρχικά, παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι συνοριακές συνθήκες με χρήση μεταβολικής αρχής, της «Αρχής Hamilton». Στη συνέχεια, μελετάται η επίδραση της γεωμετρικής μη γραμμικότητας και γίνεται προσπάθεια αναλυτικής επίλυσης των γραμμικών και μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης σε στατικά προβλήματα, όπως προβλήματα κάμψης και σε δυναμικά προβλήματα όπως προβλήματα ελεύθερων ταλαντώσεων σε δοκούς. Αρχικά, το πρώτο μέρος της διατριβής αποτελείται από το θεωρητικό υπόβαθρο της μελέτης. Πιο συγκεκριμένα, στο 1ο κεφάλαιο παρουσιάζονται οι τεχνικές θεωρίες δοκών και αναλύονται οι θεωρίες δοκών Euler-Bernoulli και Timoshenko. Στο 2ο κεφάλαιο αναλύεται η έννοια της μη γραμμικότητας, παρουσιάζονται οι κύριες πηγές μη γραμμικότητας σε προβλήματα μηχανικής και εστιάζεται κύρια στη γεωμετρική μη γραμμικότητα που είναι η βασική πηγή μη γραμμικότητας στην παρούσα μελέτη. Στο 3ο κεφάλαιο παρατίθεται μια εισαγωγή στα πιεζοηλεκτρικά υλικά. Παρουσιάζονται τα έξυπνα υλικά και οι κατηγορίες τέτοιων υλικών. Αναφέρονται οι κύριες εφαρμογές τους, το ευθύ και αντίστροφο πιεζοηλεκτρικό φαινόμενο καθώς και οι βασικές εξισώσεις του πιεζοηλεκτρισμoύ. Στο 4ο κεφάλαιο παρουσιάζονται τα σύνθετα υλικά, οι βασικές κατηγορίες τους και οι κύριες εφαρμογές τους. Επίσης, δίνεται έμφαση στα σύνθετα πολυστρωματικά υλικά τύπου «σάντουιτς» με πιεζοηλεκτρικά και ελαστικά στρώματα σε προβλήματα με εφαρμογές όπως οι αισθητήρες και οι ενεργοποιητές. Το δεύτερο μέρος της διατριβής αποτελείται από τη μαθηματική μοντελοποίηση στατικών και δυναμικών προβλημάτων ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών. Πιο συγκεκριμένα, στο 5ο κεφάλαιο παρουσιάζεται η θεωρητική διατύπωση προβλημάτων κάμψης ελαστικών δοκών με διάφορες τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης. Παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για στατικά και δυναμικά προβλήματα ελαστικών δοκών. Επιλύονται στατικά και δυναμικά προβλήματα για όλα τα γραμμικά μοντέλα και παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα. Στο 6ο κεφάλαιο αναλύονται οι μη γραμμικές τεχνικές θεωρίες διάτμησης σε ελαστικές δοκούς. Στη συνέχεια, μέσω της «Αρχής Hamilton», παράγονται οι εξισώσεις κίνησης και οι αντίστοιχες συνοριακές συνθήκες για μη γραμμικές τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης, ελαστικών δοκών με μεγάλες μετατοπίσεις. Επιλύονται σχετικά προβλήματα κάμψης ελαστικών δοκών λαμβάνοντας υπόψη τη γεωμετρική μη γραμμικότητα και παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα. Στη συνέχεια, γίνεται επέκταση των μοντέλων που περιγράφονται στα κεφάλαια 5 και 6 για πιεζοηλεκτρικές δοκούς και περιγράφονται στα κεφάλαια 7 και 8. Πιο συγκεκριμένα, στο 7ο κεφάλαιο γίνεται η παραγωγή των γραμμικών εξισώσεων κίνησης και συνοριακών συνθηκών για πιεζοηλεκτρικές δοκούς. Στη συνέχεια, γίνεται αναλυτική επίλυση στατικών και δυναμικών προβλημάτων πιεζοηλεκτρικών δοκών με θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης και παρουσιάζονται αριθμητικά αποτελέσματα. Το 8ο κεφάλαιο αναφέρεται στη θεωρητική διατύπωση πιεζοηλεκτρικών δοκών με θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης λαμβάνοντας υπόψη και γεωμετρικές μη γραμμικότητες. Γίνεται παραγωγή των μη γραμμικών εξισώσεων κίνησης και των αντίστοιχων συνοριακών συνθηκών. Στη συνέχεια, προτείνεται ένα αναλυτικός τρόπος επίλυσης των μη γραμμικών εξισώσεων και παρουσιάζονται τα αριθμητικά αποτελέσματα. Το τελευταίο κεφάλαιο της διατριβής παρουσιάζει τη μοντελοποίηση σύνθετων πολυστρωματικών ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών δοκών σε προβλήματα κάμψης με τεχνικές θεωρίες διάτμησης ανώτερης τάξης. Πιο συγκεκριμένα, στο κεφάλαιο 9 διατυπώνονται οι εξισώσεις κίνησης και οι συνοριακές συνθήκες γραμμικά ελαστικών και πιεζοηλεκτρικών σύνθετων πολυστρωματικών δοκών σε προβλήματα κάμψης. Στη συνέχεια, διατυπώνονται και οι αντίστοιχες εξισώσεις κίνησης και συνοριακές συνθήκες για ελαστικές και πιεζοηλεκτρικές σύνθετες πολυστρωματικές δοκούς με γεωμετρικές μη γραμμικότητες τύπου von Karman. Το τρίτο μέρος της διατριβής αποτελείται από τα συμπεράσματα που προέκυψαν από την έρευνα καθώς και σχετικές προτάσεις για μελλοντική έρευνα. Επίσης, παρουσιάζεται η βιβλιογραφία, οι σχετικές δημοσιεύσεις που προκύψανε και τα σχετικά παραρτήματα.