Η νοηματοδότηση της συνάρτησης ως συμμεταβολής μέσω δραστηριοτήτων μοντελοποίησης με τη χρήση εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας

Abstract

The understanding of functions and covariations is a central aspect of statistical thinking and emerges as essential to understanding fundamental concepts of Statistics and Calculus, such as rate of change. This thesis focuses on the study of the conceptualization of function as a relationship between two covarying quantities and the transition to the functional relationship between two variables when modeling inquiry-based tasks, which are inspired by authentic practices of workplace professionals, through the use of manual and digital tools. Also, the types of covarying quantities (e.g. magnitudes, variables), the models involved in the modeling process, as well as the connections between them are studied. In addition, the role of the learning context is studied through the role of teacher's interventions and the role of the tools. Algebraic modeling of geometric dependencies is offered as a field of opportunity for engaging students with functional thinking and, by extension, conceptualizing function as a relationship between two covarying quantities. It is known for many years that the use of digital technology has been central to the understanding of function particularly through the use of appropriately designed digital environments that offer interconnected algebraic and geometric representations of function. The present study is based on the use of the digital environment Casyopée, which provides the possibility of creating a function from two covarying quantities and conceptualize it through the use of multiple representations.In this thesis, a qualitative research methodology was followed and data were collected from two design and implementation phases over two years in three schools. Specifically, it was observed how groups of 11th grade students from three school classes conceptualize function as a relationship between two covarying quantities through their engagement with modeling tasks inspired by authentic situations and specially designed digital tools. The interventions were videotaped, recorded and formed the main body of data. To analyze the data, grounded theory and the theoretical framework learning trajectories (Clements & Sarama, 2004) were used in combination with Abstraction in Context (Dreyfus et al., 2015). The two theoretical frameworks were used for the first time together in order to outline how the function is conceptualized as a relationship between two covarying quantities, but also to analyze the elements of the framework involved in conceptualizing function when exploring modeling tasks. Modeling is considered the work on various models of reality, which belong to different scientific fields including various mathematizations. The present study was based on the definition of different models, which are involved in the transition from covariation to functional relationships. Conceptualization of function as a relationship between two covarying quantities is interrelated with students' work on the different models. Consequently, the connections between the different models were analyzed when modeling tasks with the aim of a comprehensive conceptualization. Also, through the teacher's interventions and the role of the tools, the role of the context in the students' understandings was analyzed.The results show the ascending gradual conceptualization of functional relationships starting from quantitative and covariate relationships through the use of learning trajectories. Also, the role of the models and their connections between them in the evolution of the students' conceptualizations is illustrated. Using Abstraction in Context the 11th grade students' ability to conceptualize function as a relationship between two covarying quantities including rate of change is highlighted. At the same time, the role of the framework during the implementation of the activities is illustrated through the interventions of the teacher and the use of the available tools. The conclusions of the thesis include informing of the existing research about the emerging process of conceptualizing function as a relationship between two covarying quantities, the critical role of model connections in the modeling process, the critical role of tools for the transition towards the functional relationships, the crucial role of the theoretical frameworks, the connection of the learning trajectory to existing categorizations and related studies that support coupling of quantitative, covariational and functional relationships with modeling.This thesis contributes to the aforementioned fields and to educators, task designers, and researchers who study functions and covariations. More specifically, it helps them to be aware of (a) the critical role of models in student’s activity especially when digital tools are involved, (b) the diversity of covarying quantities in the models, (c) the requirements of task design that incorporate authentic situations and modeling and (d) the role of the teacher and tools in implementing the activities.

Η κατανόηση των συναρτήσεων και των συμμεταβολών αποτελεί κεντρική πτυχή της στατιστικής σκέψης και αναδεικνύεται ως ουσιώδης για την κατανόηση θεμελιωδών εννοιών της Στατιστικής και του Απειροστικού Λογισμού, όπως για παράδειγμα του ρυθμού μεταβολής. Η παρούσα διατριβή εστιάζει στη μελέτη της νοηματοδότησης της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων και τη μετάβαση προς τη συναρτησιακή σχέση μεταξύ δύο μεταβλητών κατά τη μοντελοποίηση διερευνητικών προβλημάτων, τα οποία είναι εμπνευσμένα από αυθεντικές πρακτικές επαγγελματιών του χώρου εργασίας, μέσα από τη χρήση χειραπτικών και ψηφιακών εργαλείων. Επίσης, ερευνώνται τα είδη των συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων (π.χ. μεγέθη, μεταβλητές) τα οποία συμμεταβάλλονται, αλλά και τα μοντέλα που συμμετέχουν στη διαδικασία μοντελοποίησης, καθώς και στις συνδέσεις μεταξύ τους. Επιπλέον, ερευνάται ο ρόλος του μαθησιακού πλαισίου μέσα από τη μελέτη των παρεμβάσεων του εκπαιδευτικού και τον ρόλο των εργαλείων. Η αλγεβρική μοντελοποίηση γεωμετρικών εξαρτήσεων προσφέρεται ως πεδίο ευκαιριών για την εμπλοκή των μαθητών με τη συναρτησιακή σκέψη και κατ’ επέκταση τη νοηματοδότηση της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων. Είναι γνωστό ότι η χρήση της ψηφιακής τεχνολογίας αποτελεί εδώ και πολλά χρόνια κεντρικό στοιχείο για την κατανόηση της συνάρτησης ιδιαίτερα μέσα από τη χρήση κατάλληλα σχεδιασμένων ψηφιακών περιβαλλόντων που προσφέρουν διασυνδεόμενες αλγεβρικές και γεωμετρικές αναπαραστάσεις της συνάρτησης. Η παρούσα έρευνα βασίζεται στην χρήση του ψηφιακού περιβάλλοντος Casyopée, το οποίο παρέχει τη δυνατότητα δημιουργίας μίας συνάρτησης από δύο συμμεταβαλλόμενες ποσότητες και της νοηματοδότησής της μέσω της χρήσης πολλαπλών αναπαραστάσεων. Στην παρούσα διατριβή ακολουθήθηκε ποιοτική μεθοδολογία έρευνας και συλλέχθηκαν δεδομένα από δύο φάσεις σχεδιασμού και εφαρμογής κατά τη διάρκεια δύο ετών σε τρία σχολεία. Συγκεκριμένα, παρατηρήθηκε ο τρόπος που ομάδες μαθητών Β΄ λυκείου από τρεις σχολικές τάξεις νοηματοδοτούν τη συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων μέσω από την εμπλοκή τους με δραστηριότητες μοντελοποίησης εμπνευσμένες από αυθεντικές καταστάσεις και ειδικά σχεδιασμένα ψηφιακά εργαλεία. Οι παρεμβάσεις βιντεοσκοπήθηκαν, ηχογραφήθηκαν και αποτέλεσαν το κύριο σώμα των δεδομένων. Για την ανάλυση των δεδομένων χρησιμοποιήθηκε η θεμελιωμένη θεωρία ανάλυσης (grounded theory) και το θεωρητικό πλαίσιο μαθησιακές τροχιές (Clements & Sarama, 2004) σε συνδυασμό με την Αφαίρεση εντός Πλαισίου (Dreyfus et al., 2015). Τα δύο θεωρητικά πλαίσια χρησιμοποιήθηκαν για πρώτη φορά από κοινού προκειμένου να σκιαγραφηθεί ο τρόπος που νοηματοδοτείται η συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων, αλλά και να αναλυθούν τα στοιχεία του πλαισίου που συμμετέχουν στη νοηματοδότηση της συνάρτησης κατά τη διερεύνηση δραστηριοτήτων μοντελοποίησης. Ως μοντελοποίηση θεωρείται η εργασία σε διάφορα μοντέλα της πραγματικότητας τα οποία ανήκουν σε διαφορετικά επιστημονικά πεδία περιλαμβάνοντας διάφορες μαθηματικοποιήσεις. Η παρούσα έρευνα βασίστηκε στον ορισμό διαφορετικών μοντέλων, τα οποία εμπλέκονται κατά τη μετάβαση από τη συμμεταβολή στις συναρτησιακές σχέσεις. Η νοηματοδότηση της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων είναι αλληλένδετη με την εργασία των μαθητών στα διαφορετικά μοντέλα. Συνεπώς, αναλύθηκαν οι συνδέσεις μεταξύ των διαφορετικών μοντέλων κατά τη μοντελοποίηση δραστηριοτήτων με στόχο την πιο ολοκληρωμένη σκιαγράφηση της νοηματοδότησης. Επίσης, μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και από τον ρόλο των εργαλείων αναλύθηκε ο ρόλος του πλαισίου εφαρμογής στις νοηματοδοτήσεις των μαθητών.Τα αποτελέσματα δείχνουν την ανερχόμενη σταδιακή νοηματοδότηση των συναρτησιακών σχέσεων ξεκινώντας από τις ποσοτικές και συμμεταβαλλόμενες σχέσεις μέσα από τη χρήση των μαθησιακών τροχιών. Επίσης, φαίνεται ο ρόλος των μοντέλων, αλλά και των συνδέσεων μεταξύ τους στην εξέλιξη των νοηματοδοτήσεων των μαθητών. Χρησιμοποιώντας την Αφαίρεση εντός Πλαισίου φαίνεται η δυνατότητα των μαθητών λυκείου να νοηματοδοτούν τη συνάρτηση ως σχέση μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων περιλαμβάνοντας τον ρυθμό μεταβολής. Παράλληλα, φωτίζεται ο ρόλος του πλαισίου κατά την εφαρμογή των δραστηριοτήτων μέσα από τις παρεμβάσεις του εκπαιδευτικού και τη χρήση των διαθέσιμων εργαλείων. Τα συμπεράσματα της διατριβής περιλαμβάνουν την ενημέρωση της υπάρχουσας έρευνας σχετικά με τη ανερχόμενη διαδικασία νοηματοδότησης της συνάρτησης ως σχέσης μεταξύ δύο συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων, τον κρίσιμο ρόλο των συνδέσεων των μοντέλων κατά τη μοντελοποίηση δραστηριοτήτων, τον καθοριστικό ρόλο των εργαλείων για τη μετάβαση στις συναρτησιακές σχέσεις, τον καθοριστικό ρόλο των θεωρητικών πλαισίων, τη σύνδεση της μαθησιακής τροχιάς τόσο με τις υπάρχουσες κατηγοριοποιήσεις όσο και με τις έρευνες που υποστηρίζουν τη σύνδεση μεταξύ ποσοτικών, συμμεταβαλλόμενων και συναρτησιακών σχέσεων με τη μοντελοποίηση. Η παρούσα διατριβή συνεισφέρει στα προαναφερθέντα πεδία, αλλά και σε εκπαιδευτικούς, σχεδιαστές δραστηριοτήτων και ερευνητές που ασχολούνται με τις συναρτήσεις και τις συμμεταβολές. Πιο συγκεκριμένα, βοηθά στο να είναι ενήμεροι για (α) τον κρίσιμο ρόλο των μοντέλων στη δραστηριότητα των μαθητών ιδιαίτερα όταν εμπλέκονται ψηφιακά εργαλεία, (β) τη διαφορετικότητα των συμμεταβαλλόμενων ποσοτήτων στα μοντέλα, (γ) τις απαιτήσεις του σχεδιασμού δραστηριοτήτων που ενσωματώνουν αυθεντικές καταστάσεις και μοντελοποίηση και (δ) τον ρόλο του εκπαιδευτικού και των εργαλείων στην εφαρμογή των δραστηριοτήτων.