Probabilistic responses of dynamical systems subjected to gaussian coloured noise excitation: foundations of a non-markovian theory

Abstract

Determining the probabilistic structure of the response to a dynamical system under random excitations is an important question in various problems of stochastic dynamics, advanced statistical physics, material science, medical and environmental sciences, and uncertainty quantification of macroscopic systems. Furthermore, in most real-life applications, random excitations cannot be modelled as white (delta-correlated) noise, see e.g. excitations by sea waves, wind or earthquakes. The topic of this PhD dissertation is the derivation of evolution equations for probability density functions (pdfs) that describe the non-Markovian response to scalar or multidimensional dynamical systems subjected to Gaussian coloured (smoothly-correlated) noise excitation. More specifically, we derive evolution equations for the one-time response pdf, as well as for pdfs of higher order, such as the joint two-time response pdf, and the joint one-time response-excitation pdf. The aforementioned pdf evolution equations are derived from the stochastic Liouville equations (SLEs) which, in turn, are formulated by employing the delta projection method, i.e. by representing the pdfs as averages of random delta functions. SLEs are exact, yet non-closed equations, since they contain averaged terms that are expressed via higher-order pdfs. These averaged terms are further evaluated by employing appropriate generalizations of the Novikov-Furutsu (NF) theorem, which are also novel. After the application of the NF theorem, the averages in SLEs are expressed equivalently as nonlocal terms depending on the whole history of the response (and, in some cases, the history of excitation too). This result, which is in accordance with the non-Markovian character of the response, renders the new SLE forms non-closed too. Subsequently, the said nonlocal terms are approximated by a novel closure scheme, which employs the history of appropriate moments of the response (or joint moments of response and excitation). Application of this closure scheme to the SLEs results in a family of novel pdf evolution equations. These evolution equations are nonlinear, and retain a tractable amount of the original nonlocality of the SLEs, being also in closed form and solvable. Last, the new pdf evolution equations for the one-time response pdf are solved numerically and their results are compared to Monte Carlo (MC) simulations, for the benchmark case of a scalar bistable random differential equation under Ornstein-Uhlenbeck excitation. The results show that the novel evolution equations are in very good agreement with the MC simulations, even for high noise intensities and large correlation times of the excitation, that is, away from the white noise limit, where the existing pdf evolution equations found in literature fail. It should be noted that the computational effort for solving the new pdf evolution equations is comparable to the effort required for solving the respective classical Fokker-Planck-Kolmogorov equation, which is a linear partial differential equation, and corresponds to dynamical systems under white noise excitation.

Ο προσδιορισμός της πιθανοθεωρητικής δομής της απόκρισης δυναμικού συστήματος υπό τυχαία (στοχαστική) διέγερση είναι ένα σημαντικό ερώτημα για πολλά προβλήματα της Δυναμικής, της Στατιστικής Φυσικής, της Επιστήμης των Υλικών, καθώς και της ποσοτικοποίησης της αβεβαιότητας σε μακροσκοπικά συστήματα. Επιπροσθέτως, στις περισσότερες πραγματικές εφαρμογές, η τυχαία διέγερση δεν μπορεί να θεωρηθεί ως λευκός θόρυβος (δέλτα-συσχετισμένος θόρυβος), βλ. για παράδειγμα διεγέρσεις από θαλάσσια κύματα, άνεμο, και σεισμούς. Στόχος της παρούσας διδακτορικής διατριβής είναι η παραγωγή εξελικτικών εξισώσεων για συναρτήσεις πυκνότητας πιθανότητας (σππ) που περιγράφουν την μη-Μαρκοβιανή απόκριση βαθμωτών ή πολυδιάστατων δυναμικών συστημάτων σε διέγερση Γκαουσιανού χρωματισμένου (ομαλώς συσχετισμένου) θορύβου. Ειδικότερα, παράγονται κλειστές εξελικτικές εξισώσεις για την σππ της απόκρισης σε κάθε χρονική στιγμή, καθώς και σππ ανώτερης τάξης, όπως είναι η από κοινού σππ της απόκρισης σε δύο χρονικές στιγμές, και η από κοινού σππ απόκρισης και διέγερσης. Οι ανωτέρω εξελικτικές εξισώσεις παράγονται από στοχαστικές εξισώσεις Liouville (ΣΕL), οι οποίες προκύπτουν με χρήση της αναπαράστασης των σππ ως μέσων τιμών τυχαίων συναρτήσεων δέλτα. Οι ΣΕL είναι ακριβείς, αλλά δεν είναι κλειστές, επειδή περιέχουν όρους μέσων τιμών που εκφράζονται συναρτήσει σππ ανωτέρων τάξεων. Σε αυτές τις μέσες τιμές εφαρμόζουμε κατάλληλες γενικεύσεις του θεωρήματος Novikov-Furutsu (NF), οι οποίες είναι και αυτές πρωτότυπες. Μετά την εφαρμογή του θεωρήματος NF, οι μέσες τιμές στις ΣΕL εκφράζονται ισοδύναμα ως μη-τοπικοί όροι που εξαρτώνται από την όλη ιστορία της απόκρισης (και της διέγερσης, σε κάποιες περιπτώσεις). Αυτό το αποτέλεσμα είναι σε συμφωνία με τον μη-Μαρκοβιανό χαρακτήρα της απόκρισης, και καθιστά και τις νέες μορφές των ΣΕL μη-κλειστές. Στην συνέχεια, οι εν λόγω μη-τοπικοί όροι προσεγγίζονται με ένα νέο σχήμα το οποίο χρησιμοποιεί την ιστορία κατάλληλων ροπών της απόκρισης (ή από κοινού ροπών της απόκρισης και της διέγερσης). Η εφαρμογή αυτού του σχήματος οδηγεί σε μια οικογένεια από νέες, κλειστές, εξελικτικές εξισώσεις για τις σππ της απόκρισης. Οι εξισώσεις αυτές είναι μη-γραμμικές, και διατηρούν ένα ποσοστό της αρχικής μη-τοπικότητας, αλλά ταυτόχρονα είναι κλειστές και επιλύσιμες. Τέλος, οι νέες εξελικτικές εξισώσεις, για την σππ της απόκρισης σε ένα χρόνο, επιλύονται αριθμητικά και τα αποτελέσματά τους συγκρίνονται με προσομοιώσεις Monte Carlo (MC), με παράδειγμα αναφοράς μια δισταθή (bistable) τυχαία διαφορική εξίσωση υπό διέγερση Ornstein-Uhlenbeck. Όπως προκύπτει από τα αριθμητικά αποτελέσματα, οι νέες εξελικτικές εξισώσεις είναι σε πολύ καλή συμφωνία με τις προσομοιώσεις MC, ακόμα και για περιπτώσεις διέγερσης από θόρυβο ισχυρής έντασης και μεγάλου χρόνου συσχέτισης, στις οποίες περιπτώσεις άλλες παρόμοιες εξισώσεις της υπάρχουσας βιβλιογραφίας αποτυγχάνουν. Σημειώνεται ότι το υπολογιστικό κόστος για την επίλυση των νέων εξελικτικών εξισώσεων είναι συγκρίσιμο με αυτό της επίλυσης της αντίστοιχης κλασσικής εξίσωσης Fokker-Planck-Kolmogorov, η οποία είναι γραμμική, και καλύπτει τις περιπτώσεις όπου η διέγερση είναι λευκός θόρυβος.