Minimal submanifolds with nullity in space forms

Abstract

In this thesis, we investigate complete minimal isometric immersions f: Mm-> Qcn into space forms with positive index of relative nullity. The index of relative nullity was introduced by Chern and Kuiper and turned out to be a fundamental concept in submanifold theory. At a point of Mm the index is just the dimension of the kernel of the second fundamental form of an isometric immersion f: Mm -> Qcn at that point. The kernels form an integrable distribution, the so called relative nullity distribution denoted by D, along any open subset where the index is constant and the images under f of the leaves of the foliation are affine subspaces in the ambient space.Our technique is to use the so called splitting tensor, which describes how the conullity distribution is twisting inside our manifold. We use tools from Geometric Analysis, like the Omori-Yau maximum principle and the gradient estimate of Yau in order to understand the structure of the splitting tensor. The main difficulty of the proof arises from the fact that we allow the index of relative nullity to vary. Hence, in order to extend the relative nullity distribution over the set A of totally geodesic points, we use regularity theorems for extending harmonic maps.At first, we consider complete minimal isometric immersions f: Mm -> Qcn into space forms Qcn, c=-1,0,1, with index of relative nullity at least m-2. Our technique for classifying the latter immersions consists of studing a tensor, the so called splitting tensor C, that describes how the conullity distribution is twisting inside the manifold Mm. We employ tools from geometric analysis, among them is the Omori-Yau maximum principle and the gradient estimate of Yau, in order to describe the structure of the splitting tensor as an endomorphism of the conullity distribution. The main difficulty arises from the fact that we allow the index of the relative nullity to vary. In order to extend the splitting tensor over the real analytic set A of totally geodesic points, it is essential to analyze the structure of the set A. This is accomplished by employing regularity extension theorems for harmonic maps.For minimal isometric immersions into Euclidean space Rn, we prove that the immersion f must be a cylinder over a minimal surface, under the mild assumption that the Omori-Yau maximum principle is satisfied for the Laplacian. The category of complete Riemannian manifolds for which the Omori-Yau maximum principle is valid is quite large. For instance, it contains the manifolds whose Ricci curvature is bounded from below. It also contains the class of properly immersed submanifolds in a space form whose norm of the mean curvature vector is bounded. The aforementioned result is truly global in nature, since there are plenty of non complete minimal submanifolds of dimension m having constant index of relative nullity m-2 that are not part of a cylinder on any open subset. They can all locally be parametrized in terms of a certain class of elliptic surfaces. Consequently, what remains as a challenging open problem is the existence of minimal complete and noncylindrical submanifolds with index of relative nullity at least m-2. It is worth noticing that many authors where interested into finding geometric conditions for an isometric immersion f: Mm -> Rn of a complete Riemannian mani-fold with positive index of relative nullity to be a cylinder.For complete minimal immersions f: Mm -> Sn in Euclidean spheres, we prove that any such submanifold Mm is either totally geodesic or has dimension three. In the latter case, there are plenty of examples, even compact ones. For any dimension and codimension there is an abundance of examples of non-complete submanifolds fully described by Dajczer and Florit in terms of a class of surfaces, called elliptic, for which the ellipse of curvature ofa certain order is a circle at any point. Under the mild assumption that the Omori-Yau maximum principle holds on the manifold, a trivial condition in the compact case, we provide a complete local parametric description of the submanifolds in terms of 1-isotropic surfaces in Euclidean space. These are the minimal surfaces for which the standard ellipse of curvature is a circle at any point. For these surfaces, there exists a Weierstrass type representation that generates all simply-connected ones.In any of the two cases already studied, namely the Euclidean and spherical case, the proofs reduced to analyze the situation of the three dimensional submanifolds. In fact, for submanifolds in spheres only this case turned out to be possible. For minimal immersions f: Mm -> Hn in hyperbolic space of complete Riemannian manifolds Mm, the condition that the index of relative nullity is at least m-2 turns out to be quite less restrictive than in the previously studied cases. Nevertheless, we have reasons to believe that the manifold being three-dimensional is still quite special and this is why this case allows a characterization of a class of submanifolds that is contained in the following description. We prove that any three dimensional minimal submanifold f: M3 -> Hn having index of relative nullity at least one at any point, is either totally geodesic or a generalized cone over a complete minimal surface lying in an equidistant submanifold of Hn, under the assumption that the scalar curvature is bounded from below.Furthermore, we parametrically describe all minimal immersions f: Mm -> Hn , whose index of relative nullity is m-2, as subbundles of the normal bundle of certain elliptic spacelike surfaces in the Lorentzian space or in the de Sitter space. From this parametrization it is straightforward than there exist a plethora of examples of non-complete minimal submanifolds with index of relative nullity m-2 . Additionally, using this parametrization, one can construct an abundance of complete minimal submanifolds of any dimension other than generalized cones.Finally we introduce a new class of minimal immersions F: Mn -> Hn+2, in the hyperbolic space that are (n-2)-ruled. This means that they carry an integrable tangent distribution of dimension n-2, whose leaves are mapped diffeomorphically by F onto open subsets of totally geodesic (n-2)-hyperbolic spaces of Hn+2. If the manifold is simply connected, we show that it allows a one-parameter family of equally ruled minimal isometric deformations that are genuine. The deformations are obtained while keeping fixed the normal bundle and the induced connection, but now the second fundamental form relates to the initial one in a much more complex form, in particular, no orthogonal tensor in involved. It is an interesting question if the above associated family of complete ruled minimal submanifolds exhausts all examples in the same class that admit genuine deformations.Of course, a much more challenging classification problem of complete submanifolds of rank four would be to drop one of the conditions, for instance being minimal or ruled.

Στην παρούσα διατριβή μελετάμε ελαχιστικές ισομετρικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Qcn πλήρων πολυπτυγμάτων Riemann σε χώρους μορφής Qcn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Ο δείκτης μηδενοκατανομής εισήχθην από τους Chern και Kuiper και παίζει σημαντικό ρόλο στην θεωρία ισομετρικών εμβαπτίσεων. Η μηδενοκατανομή ενός υποπολυπτύγματος μέσα σε έναν χώρο σταθερής καμπυλότητος ορίζεται ως ο πυρήνας της δεύτερης θεμελιώδους μορφής. Ο δείκτης της μηδενοκατανομής σε ένα σημείο του υποπολυπτύγματος ορίζεται ως η διάσταση του πυρήνα της δεύτερης θεμελιώδους μορφής στο σημείο αυτό. Οι πυρήνες αυτοί συνιστούν μια ολοκληρώσιμη κατανομή κατά μήκος κάθε ανοικτού υποσυνόλου του υποπολυπτύγματος όπου ο δείκτης είναι σταθερός και τα φύλλα της μηδενοκατανομής συνιστούν ολικά γεωδαιτικά υποπολυπτύγματα στον περιβάλλοντα χώρο. Εάν επιπλέον το υποπολύπτυγμα είναι πλήρες,τότε αποδεικνύεται ότι τα φύλλα της μηδενοκατανομής είναι επίσης πλήρη στο ανοικτό υποσύνολο όπου ο δείκτης λαμβάνει την ελάχιστη τιμή τουΗ τεχνική μας είναι να κάνουμε χρήση του λεγόμενου τανυστή διάσπασης, ο οποίος περιγράφει πως καμπυλώνεται το ορθοσυμπλήρωμα της μηδενοκατανομής εντός του πολυπτύγματος Mm. Χρησιμοποιούμε εργαλεία από γεωμετρική ανάλυση, όπως η αρχή μεγίστου Omori-Yau και η εκτίμηση κλίσης του Yau ώστε να κατανοηθεί η δομή του τανυστή διάσπασης. Μια από τις σημαντικότερες τεχνικές δυσκολίες στην απόδειξη προέρχεται από το γεγονός ότι επιτρέπουμε στον δείκτη της μηδενοκατανομής να μεταβάλλεται από σημείο σε σημείο. Επομένως, προκειμένου να επεκτείνουμε τον τανυστή διάσπασης υπεράνω του αναλυτικού συνόλου A των ολικά γεωδαιτικών σημείων, χρησιμοποιούμε θεωρήματα επέκτασης για αρμονικές απεικονίσεις.Η παρούσα διδακτορική διατριβή διαρθρώνεται ως εξής: Αρχικά αναφέρουμε μερικές εισαγωγικές έννοιες στο Κεφάλαιο 1 και στα Κεφάλαια 2,3,4 και 5 περιέχονται τα πρωτότυπα αποτελέσματα της διατριβής.Πιο συγκεκριμένα, στο Κεφάλαιο 2 μελετούμε την δομή του τανυστή διάσπασης για τριδιάστατα ελαχιστικά υποπολυπτύγματα σε χώρους μορφής με δείκτη μηδενοκατανομής ένα. Αξίζει να σημειωθεί ότι η τριδιάστατη περίπτωση είναι ουσιώδους σημασίας για τα αποτελέσματα της παρούσας διατριβής.Στο Κεφάλαιο 3, εξετάζουμε πλήρη ελαχιστικά υποπολυπτύγματα Mm στον Ευκλεί-δειο χώρο με θετικό δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Αποδεικνύουμε ότι κάθε τέτοιο υποπολύπτυγμα είναι κύλινδρος υπεράνω μιας ελαχιστικής επιφάνειας, υπό την ασθενή υπόθεση ότι ισχύει η αρχή μεγίστου Omori-Yau για τη Λαπλασιανή. Η κλάση των πλήρων πολυπτυγμάτων για τα οποία ισχύει η αρχή μεγίστου είναι ευρεία, αφού περιλαμβάνει τα πολυπτύγματα Riemann των οποίων η καμπυλότητα Ricci δεν φθίνει ταχέως στο μείον άπειρο καθώς και τα proper υποπολυπτύγματα των οποίων η νόρμα του διανύσματος μέσης καμπυλότηταςείναι φραγμένη. Το αποτέλεσμά μας είναι ολικό εκ φύσεως, καθώς υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων μη-πλήρων ελαχιστικών υπο-πολυπτυγμάτων σε οποιασδήποτε συνδιάσταση, με σταθερό δείκτη μηδενοκατανομής, τα οποία δεν είναι τμήματα κυλίνδρου σε κανένα ανοικτό υποσύνολό τους. Όλα αυτά τα υποπολυπτύγματα, μπορούν να παραμετρηθούν τοπικά ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κλάσης ελλειπτικών επιφανειών για τις οποίες μια συγκεκριμένη έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Αξίζει να αναφερθεί ότι ένα απαιτητικό ανοικτό πρόβλημα το οποίο αποτελεί πρόκληση, είναι η ύπαρξη ενός μη-κυλινδρικού πλήρους ελαχιστικού υποπολυπτύγματος με δείκτη μηδενοκατανομής μεγαλύτερο ίσο του 1.Στο Κεφάλαιο 4, μελετούμε πλήρεις ελαχιστικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Sn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2 σε κάθε σημείο.Τα ανωτέρω υποπολυπτύγματα είναι austere υπό την έννοια των Harvey και Lawson και μελετήθηκαν από τον Bryant. Υπάρχει μεγάλη ποικιλία από μη-πλήρη ελαχιστικά υποπολυπτύγματα, σε κάθε συνδιάσταση, τα όποια έχουν παραμετρηθεί από τους και Florit ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κλάσης ελλειπτικών επιφανειών, για τις οποίες μια συγκεκριμένη έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Εάν υποθέσουμε ότι το υποπολύπτυγμα είναι πλήρες, τότε συνάγουμε ότι είτε είναι ολικά γεωδαιτικό, είτε η διάστασή του είναι τρία. Στην τελευταία περίπτωση υπάρχουν πολλά παραδείγματα, μεταξύ αυτών και συμπαγή. Υπό την ασθενή υπόθεση ότι ισχύει η αρχή μεγίστου Omori-Yau, μια τετριμμένη υπόθεση όταν το πολύπτυγμα είναι συμπαγές, παρέχουμε μια πλήρη τοπική περιγραφή των ανωτέρω υποπολυπτυγμάτων ως μοναδιαίες εφαπτόμενες υποδέσμες της κάθετης δέσμης 1-ισοτροπικών επιφανειών στον Ευκλείδειο χώρο. Οι 1-ισοτροπικές επιφάνειες είναι ελαχιστικές επιφάνειες για τις οποίες η συνήθης έλλειψη καμπυλότητος είναι κύκλος σε κάθε σημείο. Για αυτές της επιφάνειες υπάρχει Weierstrass αναπαράσταση που παράγει όλες όσες είναι απλά συνεκτικές. Τέλος, το Κεφάλαιο 5 αναφέρεται σε ελαχιστικά υποπολυπτύγματα του υπερβολικού χώρου και διαιρείται σε τρία μέρη. Στο πρώτο μέρος, μελετούμε πλήρεις ελαχιστικές ισομετρικές εμβαπτίσεις f: Mm -> Hn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον m-2. Σε αντιδιαστολή με τις περιπτώσεις του Ευκλειδείου χώρου και της σφαίρας, η υπόθεση ότι ο δείκτης της μηδενοκατανομής είναι τουλάχιστον m-2 είναι λιγότερο περιοριστική στον υπερβολικό χώρο. Έχουμε ισχυρές ενδείξεις ότι η τριδιάστατη περίπτωση m=3 διαφοροποιείται της περίπτωσης m> 3, γεγονός που μας οδηγεί στον χαρακτηρισμό πλήρων ελαχιστικών εμβαπτίσεων f: M3 -> Hn με δείκτη μηδενοκατανομής τουλάχιστον ένα σε κάθε σημείο. Υπό την υπόθεση ότι η αριθμητική καμπυλότητα είναι φραγμένη από κάτω, αποδεικνύουμε ότι το υποπολύπτυγμα M3 είναι είτε ολικά γεωδαιτικό, είτε γενικευμένος κώνος υπεράνω μιας πλήρους ελαχιστικής επιφάνειας που κείται σε ισαπέχον υποπολύπτυγμα του Hn. Η υπόθεση της πληρότητας είναι απαραίτητη στην ανωτέρω περιγραφή, καθώς υπάρχει πληθώρα παραδειγμάτων μη-πλήρων υποπολυπτυγμάτων τα οποία δεν ανήκουν στην κλάση των γενικευμένων κώνων. Στο δεύτερο μέρος, μελετάμε m-διάστατα ελαχιστικά υποπολυπτύγματα του υπερβολικού χώρου σε οποιασδήποτε συνδιάσταση, με δείκτη μηδενοκατανομής m-2. Στόχος μας είναι να παραμετρήσουμε τοπικά αυτά τα υποπολυπτύγματα, ως διανυσματικές υποδέσμες της κάθετης δέσμης μιας κατηγορίας ελλειπτικών επιφανειών του χώρου Lorentz ή του χώρου de Sitter. Είναι πλέον εμφανές ότι η υπόθεση της πληρότητας στον χαρακτηρισμό των τριδιάστατων ελαχιστικών υποπολυπτυγμάτων είναι αναγκαία, καθώς υπάρχουν πολλά τοπικά παραδείγματα που δεν ανήκουν στην κλάση των γενικευμένων κώνων. Επιπλέον, η παραμέτρηση αυτή μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή πλήρων υποπολυπτυγμάτων τυχούσας συνδιάστασης.Στο τρίτο και τελευταίο μέρος της διατριβής κατασκευάζουμε μια νέα κλάση ελαχιστικών εμβαπτίσεων F: Mn -> Hn+2, στον υπερβολικό χώρο οι οποίες είναι (n-2)-ευθειογενείς. Αυτό σημαίνει ότι το Mn επιδέχεται μια ολοκληρώσιμη κατανομή διάστασης n-2 της εφαπτόμενης δέσμης, της οποίας τα φύλλα απεικονίζονται διαφορομορφικά μέσω της F σε ανοικτά υποσύνολα ολικά γεωδαιτικών (n-2)-διάστατων υπερβολικών χώρων. Εάν το Mn είναι απλά συνεκτικό τότε αποδεικνύουμε ότι η εμβάπτιση F επιδέχεται μια μονοπαραμετρική οικογένεια από ελαχιστικές παραμορφώσεις οι οποίες είναι γνήσιες. Οι παραμορφώσεις αυτές αποκτώνται κρατώντας σταθερή την κάθετη δέσμη και την επαγόμενη κάθετη συνοχή, αλλά η δεύτερη θεμελιώδη μορφή συνδέεται με την αρχική με περίπλοκο τρόπο. Ενδιάφερον ερώτημα είναι αν η ανωτέρω κλάση περιέχει όλες τις γνήσιες παραμορφώσεις. Πρόκληση αποτελεί επίσης και το πρόβλημα ταξινόμησης των πλήρων υποπολυπτυγμάτων βαθμίδος τέσσερα, αφαιρώντας την υπόθεση της πληρότητας ή της ευθειογένειας.