Γεωμετρική συναρτησιακή ανάλυση και εφαρμογές στη συνδυαστική

Abstract

The dissertation is divided into three independent parts. The first part is devoted to quantitative versions of the Helly Theorem. We give polynomial estimates in both the quantitative theorem regarding volume and diameter, showing a new quantitative inclusion result. One of the basic tools used is the spectral sparsification and a new Brascamp Lieb inequality.In the second part, new local inequalities are demonstrated for the volume of the convex body with main subspaces. These is a Loomis Whitney type. Based on the above, we find bounds for the average volume of sections of convex bodies.In the third and final part, we prove a regularity algorithm for sparse matrices under a condition. Although this is an algorithmic and combinational result, we use methods from Analysis to get the main result.

Η διατριβή χωρίζεται σε τρία ανεξάρτητα μέρη. Το πρώτο μέρος είναι αφιερωμένο σε ποσοτικές εκδοχές του Θεωρήματος Helly. Δίνουμε πολυωνυμικές εκτιμήσεις τόσο στο ποσοτικό Θεώρημα που αφορά τον όγκο, όσο και τη διάμετρο, δείχνοντας ένα νέο γενικό ποσοτικό αποτέλεσμα εγκλεισμού. Ένα από τα βασικά εργαλεία που χρησιμοποιούνται είναι οι μέθοδοι αραιοποίησης και μία καινούργια προσεγγιστική ανισότητα Brascamp Lieb. Στο δεύτερο μέρος αποδεικνύονται νέες τοπικές ανισότητες για τον όγκο των τομών κυρτού σώματος με κύριους υποχώρους, τύπου Loomis Whitney. Με βάση τις παραπάνω, βρίσκουμε φράγματα για το συναρτησοειδές μέση τομής. Στο τρίτο και τελευταίο μέρος, αποδεικνύουμε ένα αλγοριθμικό λήμμα κανονικότητας για αραιούς πίνακες κάτω από κάποια συνθήκη. Παρόλο που πρόκειται για ένα αλγοριθμικό συνδυαστικό αποτέλεσμα, οι μέθοδοι που χρησιμοποιούνται είναι από την Ανάλυση.