Μαθηματικοποίηση των εξηγήσεων στο μάθημα των μαθηματικών: ο ρόλος των συμβόλων

Abstract

The doctoral dissertation studies the way in which an instructional sequence could incorporate the fractional symbols used by students in order to promote the development of a mature fractional understanding based on children informal knowledge. Cognitively and didactically, fractions are among the most complex concepts of the elementary school curriculum. Despite research efforts, there is still great dissatisfaction with regard to the levels of understanding of how to support students, so that they construct fractions in a meaningful way. Therefore, the main purpose of the dissertation is to contribute to meeting this need by focusing on the study of the role of symbolic representations and their contribution to the understanding of fractions. The dissertation places the deep understanding of fractions in the context of proportionality and its central questions concern the learning objectives and the design of appropriate supportive learning tools to develop understanding of fractions in the context of proportionality.The theory of Realistic Mathematics Education and the Emergent Perspective guided the study of the research questions. The research methodology chosen is the methodology of the Design Research. The basic methodological tool of the Design Research is the conduction of a three-phase classroom experiment. The first phase of the experiment included the construction of a hypothetical trajectory for teaching and learning fractions in the context of proportionality based on the starting points of the classroom the experiment was conducted and on the review of the relatively small literature concerning the intertwinement of fractions and proportional thinking. The path of equipartitioning and the path of proportional situations in situations of fair sharing were considered capable of supporting the progressive mathematization of fractions in the context of proportionality in a E class of a primary school in downtown Athens with 23 pupils (10 boys and 13 girls). The experimentation in the classroom (second phase) lasted 2 ½ months (January - March 2005 : 40 lessons) and concerned didactic decisions on the basis of students’ progress of and in relation to the means of support for the promotion of classroom mathematical development. The retrospective analysis of the experiment (third phase) suggested that despite its limited impact, the design study of the dissertation could contribute to the research literature. It clarifies to a certain extent degree some of the knowledge and skills students need to have in order to understand fractions in the context of proportionality and describes a plan to support them in order to develop understanding. In particular, it determines means of support for students' learning and illustrates why and how they could be effective.

Η διδακτορική διατριβή μελετά τον τρόπο που θα μπορούσαν οι συμβολισμοί των κλασμάτων που χρησιμοποιούν οι μαθητές, να εντάσσονται σε μια διδακτική ακολουθία ώστε να προωθείται η οικοδόμηση μιας ώριμης αντίληψης του κλάσματος στη βάση των άτυπων παιδιών. Από γνωστικής και διδακτικής πλευράς τα κλάσματα συγκαταλέγονται στις πιο πολύπλοκες έννοιες του αναλυτικού προγράμματος του Δημοτικού Σχολείου. Παρά τις ερευνητικές προσπάθειες που έχουν γίνει, παραμένει μεγάλη η δυσαρέσκεια όσον αφορά τα επίπεδα κατανόησης του τρόπου που θα μπορούσαν οι μαθητές να στηριχτούν ώστε να κατασκευάσουν τα κλάσματα με ουσιαστικό τρόπο. Επομένως, κύριος σκοπός της διατριβής αποτελεί η συνεισφορά της στην κάλυψη αυτής της ανάγκης εστιάζοντας στη μελέτη του ρόλου των συμβολικών αναπαραστάσεων και της συμβολής τους στην ανάπτυξη κατανόησης των κλασμάτων. Η διατριβή τοποθετεί τη βαθιά κατανόηση των κλασμάτων στο πλαίσιο της αναλογικότητας και τα κεντρικά ερωτήματά της αφορούν στους σκοπούς μάθησης και στον σχεδιασμό κατάλληλων στηριγμάτων μάθησης για την ανάπτυξη της κατανόησης των κλασμάτων στο πλαίσιο της αναλογικότητας. Οι θεωρίες που προσανατόλισαν την προσέγγιση της μελέτης των ερευνητικών ερωτημάτων ήταν η Ρεαλιστική Θεωρία Μαθηματικής Εκπαίδευσης και το Πλαίσιο Αναδυόμενης Οπτικής. Η μεθοδολογία έρευνας που επιλέχθηκε, είναι η μεθοδολογία της Έρευνας Σχεδιασμού. Το βασικό μεθοδολογικό εργαλείο της Έρευνας Σχεδιασμού είναι η διεξαγωγή ενός διδακτικού πειράματος σε τάξη σε τρεις φάσεις. Η πρώτη φάση του πειράματος περιέλαβε τη διαμόρφωση μιας υποθετικής τροχιάς μάθησης των κλασμάτων στο πλαίσιο της αναλογικότητας με βάση τις αρχικές δυνατότητες των μαθητών της τάξης του πειράματος και την ανασκόπηση της σχετικά μικρής βιβλιογραφίας αναφορικά με την αλληλοσύνδεση των κλασμάτων και της αναλογικής σκέψης. Τα μονοπάτια του ισοτεμαχισμού και των ανάλογων καταστάσεων σε προβλήματα δίκαιης μοιρασιάς θεωρήθηκαν ικανά να στηρίξουν την προοδευτική μαθηματικοποίηση των κλασμάτων στο πλαίσιο της αναλογικότητας σε μια τάξη Ε’ δημοτικού ενός σχολείου στο κέντρο της Αθήνας με 23 μαθητές (10 αγόρια και 13 κορίτσια). Ο πειραματισμός στην τάξη (δεύτερη φάση) κράτησε 2 ½ μήνες (Ιανουάριος – Μάρτιος 2005: 40 μαθήματα) και αφορούσε διδακτικές αποφάσεις με βάση την πρόοδο των μαθητών και σε σχέση με τα μέσα στήριξης για την προώθηση της μαθηματικής εξέλιξης της τάξης. Η αναδρομική ανάλυση του πειράματος (τρίτη φάση του πειράματος) πρόβαλε ότι παρά την περιορισμένη επίδρασή της, η μελέτη σχεδιασμού της διατριβής θα μπορούσε να αποτελέσει μία συνεισφορά στην ερευνητική βιβλιογραφία. Ξεκαθαρίζει ως ένα βαθμό κάποιες από τις γνώσεις και δεξιότητες που χρειάζονται οι μαθητές για να κατανοούν το κλάσμα στο πλαίσιο της αναλογικότητας και περιγράφει ένα σχέδιο στήριξής τους για την ανάπτυξη κατανόησης. Ειδικότερα, καθορίζει στηρίγματα για τη μάθηση των μαθητών και δείχνει για ποιον λόγο και με ποιον τρόπο θα μπορούσαν να είναι αποτελεσματικά.