Cosmological asymptotics in higher–order gravity theories

Abstract

We study the early-time behavior of isotropic and homogeneous solutions in vacuum as well as radiation-filled cosmological models in the full, effective, four dimensional gravity theory with higher derivatives. We use asymptotic methods to analyze all possible ways of approach to the initial singularity of such universes. In order to do so, we construct autonomous dynamical systems that describe the evolution of these models, and decompose the associated vector field. We prove that, at early times, all flat vacua as well as general curved ones are globally attracted by the "universal" square root scaling solution. Open vacua, on the other hand show in both, future and past directions a dominant asymptotic approach to horizon-free, Milne states that emerge from initial data sets of smaller dimension. Closed universes exhibit more complex logarithmic singularities. Our results on asymptotic stability show a possible relation to cyclic and ekpyrotic cosmologies at the passage through the singularity. In the case of radiation-filled universes of the same class we show the essential uniqueness and stability of the resulting asymptotic scheme, once more dominated by t^{1/2}, in all cases except perhaps that of the conformally invariant Bach-Weyl gravity. In all cases, we construct a formal series representation valid near the initial singularity of the general solution of these models and prove that curvature as well as radiation play a subdominant role in the dominating form. A discussion is also made on the implications of these results for the generic initial state of the theory.

Μελετάμε την πρώιμη συμπεριφορά, ισότροπων και ομογενών λύσεων τόσο στο κενό όσο και σε κοσμολογικά μοντέλα με ακτινοβολία στις πλήρεις, λυσιτελείς (effective), τετραδιάστατες βαρυτικές θεωρίες υψηλότερης τάξης. Χρησιμοποιούμε ασυμπτωτικές μεθόδους για να αναλύσουμε όλους τους πιθανούς τρόπους προσέγγισης της αρχικής ιδιομορφίας σε τέτοιου είδους σύμπαντα. Εφαρμόζουμε αυτά τα μαθηματικά εργαλεία κατασκευάζουντας αυτόνομα δυναμικά συστήματα που περιγράφουν την εξέλιξη αυτών των μοντέλων και διασπάμε τα αντίστοιχα διανυσματικά πεδία. Αποδεικνύουμε ότι σε πρώιμο χρόνο όλα τα επίπεδα καθώς επίσης και τα καμπυλωμένα κενά σύμπαντα έλκονται συνολικά από την "καθολική" λύση του παράγοντα κλίμακας ως τετραγωνικής ρίζας της χρονικής συνιστώσας. Τα ανοιχτά κενά σύμπαντα επιδεικνύουν πιο πολύπλοκες λογαριθμικές ιδιομορφίες. Τα αποτελέσματά μας για την ασυμπτωτική συμπεριφορά, αναδεικνύουν μια πιθανή συσχέτιση με τις κυκλικές και εκπυρωτικές κοσμολογίες κατά τη μετάβαση διαμέσου της ιδιομορφίας. Στην ίδια κατηγορία συμπάντων με ακτινοβολία, δείχνουμε την ουσιώδη μοναδικότητα και ευστάθεια των προκυπτόντων ασυμπτωτικών σχημάτων, στα οποία και πάλι επικρατεί η t^{1/2} σε όλες τις περιπτώσεις εκτός ίσως από τη σύμμορφη αναλλοίωτη βαρύτητα Bach-Weyl. Σε κάθε περίπτωση κατασκευάζουμε μια αναπαράσταση των γενικών λύσεων αυτών των μοντέλων σε μορφή τυπικής (formal) σειράς γύρω από την αρχική ιδιομορφία και αποδεικνύουμε ότι τα χαρακτηριστικά τόσο της καμπυλότητας όσο και της ακτινοβολίας διαδραματίζουν υπολείποντα ρόλο στην επικρατούσα συμπεριφορά. Αναφερόμαστε επίσης στις γενικότερες συνέπειες των αποτελεσμάτων μας για την τυπική αρχική κατάσταση της εν λόγω θεωρίας.