The time operator and age of evolutionary processes

Abstract

The Time Operator has originated in Quantum Mechanics and has been further elaborated in Dynamical Systems. In the present thesis, the Time Operator is generalized to several classes of evolutionary processes such as Stochastic Processes and Network Evolution models. We propose a new method for the construction of the Time Operator of Bernoulli processes so that it may be directly applied to the construction of the Time Operator of Markov chains and more general discrete-time Point Processes. The application of the Time Operator of Bernoulli processes to random walks obtains innovation probability and Age estimators from stock market data. The innovation probability is proved to be a variance ratio, so variance estimators are presented from Open, High, Low and Close values of an asset’s price which are efficient, drift-independent and able to estimate variance from one single trading day. The application to the Greek elections period of June 2012 shows that the innovation probabilities quantify the unpredictability of the complex financial environment. In case the Open, High, Low and Close values are not known yet to the observer, we employ Stochastic Variance (volatility squared) Models for the prediction of the intraday variance of the following trading day. Moreover, we construct the Time Operator of two-state Markov chains and demonstrate an algorithm which computes the internal Age of Markov chains. We determine a relation between the maximal total variation distance from equilibrium and the deviation of internal time from clock time, using a Monte Carlo method. The mixing time of a Markov chain is defined and compared to the Kemeny time (constant) and Goodman’s intrinsic time. Since the representation of the Kemeny constant has been discussed in the literature, we present another representation of the Kemeny constant in terms of internal Age of Markov chains and clock time. We illustrate the Mixing time, Kemeny time and Goodman’s time to two selected examples, one far from equilibrium and another very close to equilibrium. The relation of internal Age and mixing time is verified in both examples. We generalize the definition of mixing time of Markov chains using Lyapunov functionals, defined in terms of distances induced by an r-norm, in terms of Tsallis and Kaniadakis entropy and in terms of the classic Boltzmann-Shannon-Gibbs entropy. Based on the above developments we construct the Time Operator of Network Evolution and provide explicit Age formulas for generalized Erdős-Rényi graphs and Markov networks. We see that the internal Age is a function of the Tsallis Entropy (for q=2) of the attachment distribution. We also present the distribution of innovations in the Barabási-Albert network evolution model. We finally propose an “isochronic” inequality of Stochastic Processes, analogous to the isoperimetric inequality of closed curves on the plane.

Σκοπός της διατριβής είναι η κατασκευή του τελεστή του χρόνου σε στοχαστικές διαδικασίες και σε δίκτυα, επεκτείνοντας προηγούμενες κατασκευές σε Δυναμικά Συστήματα. Οι εξελικτικές διαδικασίες μοντελοποιούνται σήμερα ως Δυναμικά Συστήματα, Στοχαστικές Διαδικασίες είτε χρονικά μεταβαλλόμενα δίκτυα (temporal/dynamical networks). Η ιδέα της αναπαράστασης του χρόνου ως τελεστή προέρχεται από την Κβαντομηχανική και την Στατιστική Φυσική και επεκτάθηκε σε Δυναμικά Συστήματα με θετική παραγωγή εντροπίας (Kolmogorov, Exact-Rohlin) και σε διαδικασίες καινοτομίας (Innovation Processes). Στην εργασία αυτή ο τελεστής του χρόνου επεκτείνεται και κατασκευάζεται σε διαδικασίες Bernoulli και Markov καθώς και σε διαδικασίες εξέλιξης δικτύων. Τα αποτελέσματα της θεωρητικής ανάλυσης εφαρμόζονται σε συγκεκριμένα οικονομικά μοντέλα και ένα μοντέλο πληθυσμιακής δυναμικής (Moran Process). Ο χρόνος μίξης διαδικασιών Markov ορίζεται και μέσω της εσωτερικής ηλικίας της διαδικασίας Markov, δηλαδή της μέσης τιμής του τελεστή του χρόνου. Ακολουθεί η επέκταση σε πολυδιάστατες τυχαίες μεταβλητές, όπως τετραγωνικοί τυχαίοι πίνακες με στοιχεία στο {0, 1}, που περιγράφουν την πιθανή εξέλιξη ενός τυχαίου γραφήματος. Η σχέση εσωτερικού χρόνου και χρόνου του ρολογιού στην παρατήρηση τυχαίων διαδικασιών μας προδιαθέτει να παρουσιάσουμε την «ισοχρονική» ανισότητα στοχαστικών διαδικασιών, σε πλήρη αντιστοιχία με τις έννοιες της ισοπεριμετρικής ανισότητας στο επίπεδο.