Use of bayesian techniques in hydroclimatic prognosis

Abstract

Climatic prognosis is performed using the deterministic General Circulation Models. These models, whose use started half a century ago, are based on the Navier–Stokes equations and are numerical representations of the climate system based on the physical, chemical and biological properties of its components, their interactions and feedback processes. Recently it was proved that their older versions failed to provide adequate predictions, while newer versions are still not able to reproduce the climate of the past.Thus a shift of paradigm to stochastic models has been proposed. Toy models have shown that stochastic models are more valuable in predicting for long horizons, and additionally they can quantify the uncertainty of predictions. We prefer to follow the path less travelled and model geophysical processes stochastically. Whereas a usual approach to stochastic modelling involves an ad hoc choice of the appropriate stochastic model for the time series at hand, we again prefer to use results obtained from the implementation of general notions of physics, such as entropy maximization, even though a definite answer to the question, which is the appropriate stochastic model for climate, has not been given yet. Maximization of entropy under certain constraints results in models exhibiting Hurst-Kolmogorov behaviour. In this thesis the Hurst-Kolmogorov stochastic process will be used to model this behaviour.The overall aim of this thesis is the development of stochastic tools for climate prediction. Attempts to achieve this aim in a typical statistical context have been proved successful so far, but they do not offer much space for further improvements. A Bayesian approach offers more flexibility at the cost an additional assumption, i.e. the introduction of the prior distribution for the parameters of the models.The main questions that are addressed in this thesis are:-How can the uncertainty in the estimation of the parameters of the model be integrated in the uncertainty of the prediction?-How can the data be used for the prediction?-Which is an appropriate framework to gain information from the available deterministic models?The main components of the framework developed in this thesis are the stochastic model and the data. The development of tools contributes in quantifying the uncertainty in the prediction of climate. Uncertainty quantification, as contrasted with to point estimation, incorporates climate variability.To answer these questions, a previous typical statistical approach of the problem is investigated and is justified analytically. The general algorithm for the estimation of confidence intervals of parameters of interest that was used in that earlier study is compared to other general algorithms and it is found that it performs satisfactorily. Properties of the algorithm are explored within an analytical framework, strengthening the arguments in favour of its use in that earlier study. However this approach is not adequate to solve the problem, owing to its indirect, albeit encouraging, results. Thus, to continue the research, another path is chosen, namely the Bayesian approach.To strengthen the Bayesian choice some results on the estimation of the parameters of the Hurst-Kolmogorov process using a maximum likelihood estimator are presented. A novel estimator is proposed as well and its properties are examined analytically. It is shown that estimating all parameters of the process simultaneously is critical to obtain valid results. The posterior predictive distributions of the climate variables for the Hurst-Kolmogorov process are calculated conditional on past observations within a Bayesian stochastic framework. The examined variables are assumed to be normal or truncated normal. The results are compared with cases where some of the parameters are considered known and the effect of the uncertainty in their estimation is shown.We conclude with an attempt to use information from deterministic model outputs to improve stochastic prediction. To this end, the properties of the maximum likelihood estimator of the bivariate Hurst-Kolmogorov process are analysed. A stochastic framework including both data and model outputs is developed.On a more practical level, the stochastic framework is applied to temperature, rainfall and runoff data from Greece and Europe and it is shown to be able to explain climatic variability. The latter framework is applied to historical global temperature and land precipitation data. General Circulation Models are used as deterministic models. It is shown that the information added by the General Circulation Models to that contained in the historical datasets is not substantial. This means that the output of the General Circulation Models has almost negligible effect on the stochastic predictions.

Η κλιματική πρόγνωση πραγματοποιείται, χρησιμοποιώντας τα ντετερμινιστικά Μοντέλα Γενικής Κυκλοφορίας (General Circulation Models, ΜΓΚ). Τα μοντέλα αυτά, που η χρήση τους άρχισε πριν μισό αιώνα, βασίζονται στις εξισώσεις Navier–Stokes και είναι αριθμητικές αναπαραστάσεις του κλιματικού συστήματος βασισμένες στις φυσικές, χημικές και βιολογικές ιδιότητες των στοιχείων του, τις αλληλεπιδράσεις και τις αναδράσεις τους. Πρόσφατα αποδείχτηκε ότι οι παλαιότερες εκδόσεις τους απέτυχαν να παράσχουν επαρκείς προβλέψεις, ενώ οι νεότερες εκδόσεις δεν είναι προς το παρόν ικανές να αναπαράγουν το κλίμα του παρελθόντος.Για τον λόγο αυτό προτείνεται η χρήση στοχαστικών μοντέλων. Οι απλούστερες προσεγγίσεις (μοντέλα-παιχνίδια) έχουν δείξει ότι τα στοχαστικά μοντέλα είναι ικανότερα για την πρόβλεψη σε μακρινούς χρονικούς ορίζοντες, και επιπρόσθετα μπορούν να ποσοτικοποιήσουν την αβεβαιότητα των προβλέψεων. Στο πλαίσιο της διατριβής χρησιμοποιήσαμε μεθοδολογίες που εφαρμόζονται σπανιότερα και μοντελοποιήσαμε τις γεωφυσικές διεργασίες στοχαστικά. Για την μοντελοποίηση των χρονοσειρών επιλέξαμε να χρησιμοποιήσουμε αποτελέσματα τα οποία προκύπτουν από την εφαρμογή γενικών αρχών της φυσικής, όπως η μεγιστοποίηση της εντροπίας, αν και η συνήθης προσέγγιση είναι η ad hoc επιλογή του κατάλληλου στοχαστικού μοντέλου. Η μεγιστοποίηση της εντροπίας υπό συγκεκριμένους περιορισμούς παράγει μοντέλα τα οποία παρουσιάζουν συμπεριφορά Hurst-Kolmogorov. Σε αυτήν την διατριβή η στοχαστική ανέλιξη Hurst-Kolmogorov χρησιμοποιείται για την μοντελοποίηση αυτής της συμπεριφοράς. Σε κάθε περίπτωση πάντως οριστική απάντηση στο ερώτημα, ποιό είναι το κατάλληλο στοχαστικό μοντέλο για το κλίμα, δεν έχει δοθεί.Ο σκοπός αυτής της διατριβής είναι η ανάπτυξη στοχαστικών εργαλείων για την κλιματική πρόγνωση. Προσπάθειες για την επίτευξη αυτού του σκοπού εντός ενός τυπικού στατιστικού πλαισίου αποδείχτηκαν επιτυχείς προς το παρόν, αλλά δεν προσφέρονται για περαιτέρω βελτιώσεις. Μια Μπεϋζιανή προσέγγιση προσφέρει περισσότερη ελαστικότητα, με το κόστος μιας επιπλέον παραδοχής, δηλαδή την εισαγωγή μιας εκ των προτέρων κατανομής για τις παραμέτρους του μοντέλου.Τα κύρια ζητήματα τα οποία αντιμετωπίζονται σε αυτήν την διατριβή είναι:-Πώς μπορεί η αβεβαιότητα στην εκτίμηση των παραμέτρων να ενσωματωθεί στην αβεβαιότητα της πρόβλεψης;-Πώς μπορούν τα δεδομένα να χρησιμοποιηθούν για την πρόγνωση;-Ποιο είναι το κατάλληλο πλαίσιο για να κερδίσουμε πληροφορία από τα διαθέσιμα ντετερμινιστικά μοντέλα;Τα κύρια στοιχεία του μεθοδολογικού πλαισίου, το οποίο αναπτύσσεται σε αυτήν την διατριβή, είναι το στοχαστικό μοντέλο και τα δεδομένα. Τα εργαλεία που αναπτύσσονται συνεισφέρουν στην ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας στην πρόγνωση του κλίματος. Η ποσοτικοποίηση της αβεβαιότητας ενσωματώνει την κλιματική μεταβλητότητα.Για να απαντηθούν τα κύρια ζητήματα της διατριβής διερευνάται και αιτιολογείται μια προηγούμενη τυπική στατιστική προσέγγιση του προβλήματος. Ο γενικός αλγόριθμος για την εκτίμηση των διαστημάτων εμπιστοσύνης των παραμέτρων ενδιαφέροντος, ο οποίος χρησιμοποιήθηκε στην προηγούμενη μελέτη, συγκρίνεται με άλλους γενικούς αλγόριθμους και τα αποτελέσματά του είναι ικανοποιητικά. Ορισμένες ιδιότητες του αλγορίθμου διερευνώνται αναλυτικά, ισχυροποιώντας τα επιχειρήματα υπέρ της χρήσης του στην προηγούμενη μελέτη. Ωστόσο αυτή η προσέγγιση δεν είναι επαρκής για να επιλύσει το πρόβλημα, λόγω των έμμεσων, αν και ενθαρρυντικών, αποτελεσμάτων. Το πρόβλημα προσεγγίζεται χρησιμοποιώντας Μπεϋζιανά μοντέλα, για να συνεχιστεί η έρευνα.Μερικά αποτελέσματα επί της εκτίμησης των παραμέτρων της στοχαστικής ανέλιξης Hurst-Kolmogorov παρουσιάζονται, χρησιμοποιώντας μια εκτιμήτρια μέγιστης πιθανοφάνειας, ώστε να ισχυροποιηθεί η Μπεϋζιανή προσέγγιση του προβλήματος. Επιπλέον, προτείνεται μια καινούρια εκτιμήτρια και εξετάζονται αναλυτικά οι ιδιότητές της. Δείχνουμε ότι η ταυτόχρονη εκτίμηση των παραμέτρων της ανέλιξης είναι κρίσιμη για την εγκυρότητα των αποτελεσμάτων. Υπολογίζεται η εκ των υστέρων κατανομή της πρόγνωσης των κλιματικών μεταβλητών για την ανέλιξη Hurst-Kolmogorov, δεδομένων των παρατηρήσεων του παρελθόντος, χρησιμοποιώντας ένα Μπεϋζιανό στατιστικό μοντέλο. Στο μοντέλο αυτό εξετάζονται κανονικές ή αποκομμένες κανονικές μεταβλητές. Τα αποτελέσματα συγκρίνονται με περιπτώσεις, στις οποίες μερικές από τις παραμέτρους θεωρούνται γνωστές και παρουσιάζεται η επίδραση της αβεβαιότητας στην εκτίμησή τους.Η διατριβή ολοκληρώνεται με την προσπάθεια χρησιμοποιηθεί πληροφορία η οποία παράγεται από ντετερμινιστικά μοντέλα, ώστε να βελτιωθεί η στοχαστική πρόγνωση. Για τον λόγο αυτόν αναλύονται οι ιδιότητες της εκτιμήτριας μέγιστης πιθανοφάνειας της διμεταβλητής στοχαστικής ανέλιξης Hurst-Kolmogorov και αναπτύσσεται ένα στοχαστικό μεθοδολογικό πλαίσιο, το οποίο περιλαμβάνει τα δεδομένα και την πληροφορία των ΜΓΚ.Σε ένα πιο πρακτικό επίπεδο, το Μπεϋζιανό μοντέλο εφαρμόζεται σε δεδομένα θερμοκρασίας, βροχόπτωσης και απορροής από την Ελλάδα και την Ευρώπη και αποδεικνύεται ότι είναι ικανό να εξηγήσει την κλιματική αβεβαιότητα. Το δεύτερο στοχαστικό πλαίσιο εφαρμόζεται σε ιστορικά δεδομένα παγκόσμιας θερμοκρασίας και βροχόπτωσης επί της ξηράς και επιπλέον χρησιμοποιεί πληροφορία από τα ΜΓΚ. Η πληροφορία που προστίθεται από τα ΜΓΚ σε αυτήν που περιέχεται στα ιστορικά δεδομένα αποδεικνύεται ότι δεν είναι σημαντική. Αυτό σημαίνει ότι τα αποτελέσματα των ΜΓΚ έχουν σχεδόν αμελητέα επίδραση στη στοχαστική πρόγνωση.