Forward - backward stochastic differential equations with random coefficients and applications to finance

Abstract

The first part of this thesis studies forward and backward versions of the random Burgers equation (RBE) with stochastic coefficients. First, the celebrated Cole-Hopf transformation reduces the forward RBE to a forward random heat equation (RHE) that can be treated pathwise. Next we provide a connection between the backward Burgers equation and a system of forward backward stochastic differential equations (FBSDEs). Exploiting this connection, we derive a generalization of the Cole-Hopf transformation which links the backward RBE with the backward RHE and investigate the range of its applicability. Stochastic Feynman-Kac representations for the solutions are provided. Explicit solutions are constructed and applications to stochastic control and mathematical finance are discussed.In the second part, we study a class of infinite horizon fully coupled FBSDEs, that is stimulated by various continuous time future expectations models with random coefficients. Under standard Lipschitz and monotonicity conditions, and by means of the contraction mapping principle, we establish existence, uniqueness, a comparison property and dependence on a parameter of adapted solutions. Making further the connection with infinite horizon quasilinear backward stochastic partial differential equations (BSPDEs), we are led to the notion of stationary stochastic viscosity solutions. A stochastic maximum principle for the optimal control problem of such FBSDEs is also provided as an application to this framework.

Στο πρώτο μέρος αυτής της διατριβής μελετάμε προδρομικές και οπισθοδρομικές εκδοχές της τυχαίας εξίσωσης Burgers (ΤΕΒ) με στοχαστικούς συντελεστές. Αρχικά ο μετασχηματισμός Cole-Hopf ανάγει την προδρομική ΤΕΒ σε μια προδρομική τυχαία εξίσωση θερμότητας (ΤΕΘ) που μπορεί να αντιμετωπιστεί ως καθοριστική. Εν συνεχεία παρέχουμε μία σύνδεση μεταξύ της οπισθοδρομικής εξίσωσης Burgers και ενός συστήματος προδρομικών - οπισθοδρομικών στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (ΠΟΣΔΕ). Εκμεταλλευόμενοι αυτή την σύνδεση, εξάγουμε μια γενίκευση του μετασχηματισμού Cole-Hopf που συνδέει την οπισθοδρομική ΤΒΕ με την οπισθοδρομική ΤΕΘ και διερευνoύμε το εύρος της εφαρμογής του. Επίσης, παρέχονται στοχαστικές αναπαραστάσεις Feynman-Kac για τις λύσεις. Τέλος, κατασκευάζονται ακριβείς λύσεις και παρουσιάζονται εφαρμογές στο στοχαστικό έλεγχο και στα χρηματοοικονομικά μαθηματικά.Στο δεύτερο μέρος μελετάμε μια κατηγορία συστημάτων πλήρους πεπλεγμένων ΠΟΣΔΕ σε άπειρο ορίζοντα, τα οποία συναντώνται σε μια σειρά από μοντέλα μελλοντικών προσδοκιών συνεχούς χρόνου με τυχαίους συντελεστές. Υπό κανονικές συνθήκες Lipschitz και μονοτονίας, και μέσω της αρχής συστολής απεικόνισης, αποδεικνύουμε την ύπαρξη, τη μοναδικότητα, μια ιδιότητα σύγκρισης καθώς και την εξάρτηση από μια παράμετρο των προσαρμοσμένων λύσεων. Κάνοντας περαιτέρω τη σύνδεση με τις σχεδόν-γραμμικές οπισθοδρομικές στοχαστικές μερικές διαφορικές εξισώσεις (ΟΣΜΔΕ) άπειρου ορίζοντα, οδηγούμαστε στην έννοια των στάσιμων στοχαστικών λύσεων viscosity. Μία στοχαστική αρχή μεγίστου για το πρόβλημα βέλτιστου ελέγχου των εν λόγω ΠΟΣΔΕ παρέχεται επίσης ως εφαρμογή στο πλαίσιο αυτό.