Using and expanding hybrid latent variable models for modelling missing data and for discovering influential points

Abstract

The term Hybrid is used in general to describe the mixed character of something having two kinds of components. Hybrid latent variable models allow the specification of two or more classes and withinclass structures that can range from local independence to complex structural relations between latent continuous variables. Chapter 1 discusses the literature in the area of Hybrid latent variable models, with details concerning the estimation procedure based on EM of a Hybrid 2LC/2PL-Hom model for binary data. By the notation 2LC/2PL-Hom we denote a model in which the response to any item is governed by a discrete latent variable which subdivides the population into two latent groups (2LC) and additionally that a response to any item in a particular one of these groups is governed by another continuous latent variable. The response probability for this group of subjects is described by the two-parameter item response (2PL) model. The other latent class is assumed homogeneous (Hom) without any latent structure. Model _t is the object of discussion and investigation of the next two chapters. Overall and Limited-Information tests are presented and their performance is explored through simulated examples of 2LC/2PL-Hom models in order to assess them in terms of power and Type I error rates. Emphasis is placed upon sparse data which is usually the case in areas of applications of latent variable models. The percentage of expected frequencies less than or equal to 5 is taken as a measure of sparseness. In Chapter 4, use of the Hybrid 2LC/2PL-2PL model is proposed to deal with Missing Not At Random (MNAR) binary data in social surveys. This model assumes that the missing (unobserved) data depend on something other than the observed data and, under necessary assumptions and constraints, permits the missing data to be incorporated into the analysis. In particular, under the proposed model, the response propensity of individuals depends on the specific latent groups into which the population is separated by the discrete latent variable which is measured by the set of binary items in an attitude survey. Influence analysis is studied in Chapter 5 for a 2PL IRT model for binary data for the detection of influential points with the main objective of alerting us when the results of fitting such a model are very misleading and also enabling us to identify the source of this influence.

Ο όρος Υβριδικός χρησιμοποιείται γενικά για να περιγράψει το μεικτό χαρακτήρα ενός αντικειμένου το οποίο αποτελείται από δύο στοιχεία. Τα Υβριδικά μοντέλα λανθανουσών μεταβλητών επιτρέπουν τον ορισμό δύο ή περισσοτέρων κλάσεων και δομές εντός των ομάδων οι οποίες καλύπτουν ένα μεγάλο εύρος από απλή ανεξαρτησία (local independence) έως σύνθετες σχέσεις μεταξύ των λανθανουσών μεταβλητών. Στο Κεφάλαιο 1 γίνεται αναφορά και σχολιασμός της βιβλιογραφίας στο πεδίο των Υβριδικών μοντέλων καθώς και λεπτομερής παρουσίαση της διαδικασίας εκτίμησης με χρήση του ΕΜ ενός Υβριδικού Hybrid 2LC/2PL-Hom μοντέλου. Ο συμβολισμός 2LC/2PL-Hom δηλώνει ένα μοντέλο για το οποίο οι απαντήσεις στα ερωτήματα προς απόκριση εξαρτώνται από μία διακριτή λανθάνουσα μεταβλητή η οποία διαιρεί τον πληθυσμό σε δύο ομάδες (2LC) και επιπλέον ότι οι απαντήσεις στα ερωτήματα σε μία από τις δύο αυτές ομάδες εξαρτώνται από μία συνεχή λανθάνουσα μεταβλητή. Η πιθανότητα απάντησης για αυτή την ομάδα δίνεται από το μοντέλο δύο παραμέτρων (2PL-IRT). Η άλλη ομάδα θεωρείται ομογενής (Homogeneous-Hom) χωρίς κάποια άλλη λανθάνουσα δομή. Η προσαρμογή του μοντέλου αποτελεί το αντικείμενο συζήτησης και έρευνας των επόμενων δύο κεφαλαίων. Τεστ τα οποία εμπεριέχουν όλη την πληροφορία (Overall tests) και μέρος της πληροφορίας (Limited-information tests) των δεδομένων παρουσιάζονται και διερευνάται η συμπεριφορά τους μέσω προσομοίωσης για το 2LC/2PL-Hom μοντέλο σε ότι αφορά την ισχύ και το σφάλμα Τύπου Ι. Έμφαση δίνεται στην περίπτωση των δεδομένων τα οποία είναι αραιά (sparse) και τα οποία συναντάμε συχνά στο πεδίο εφαρμογής των λανθανουσών μοντέλων. Ως μέτρο για το πόσο αραιά είναι τα δεδομένα χρησιμοποιείται το ποσοστό των αναμενόμενων συχνοτήτων οι οποίες είναι μικρότερες ή ίσες με 5. Στο Κεφάλαιο 4 προτείνεται η χρήση του Hybrid 2LC/2PL-2PL μοντέλου για δίτιμα δεδομένα με ελλιπείς παρατηρήσεις οι οποίες δεν έχουν προέλθει τυχαία (MNAR) κατά τη διαδικασία απόκρισης των υποκειμένων. Το μοντέλο αυτό θεωρεί ότι τα ελλιπή (μη παρατηρούμενα) δεδομένα εξαρτώνται από κάτι επιπλέον σε σχέση με τα παρατηρούμενα και κάτω από τις απαραίτητες υποθέσεις και περιορισμούς επιτρέπει τα ελλιπή δεδομένα να συμπεριληφθούν στην ανάλυση. Συγκεκριμένα σύμφωνα με το προτεινόμενο μοντέλο η τάση των ερωτώμενων να αποκριθούν (response propensity) σχετίζεται με τις συγκεκριμένες ομάδες στις οποίες διαιρείται ο πληθυσμός από τη διακριτή λανθάνουσα μεταβλητή, η οποία μετράται από ένα σύνολο δίτιμων ερωτήσεων οι οποίες υποβάλλονται στα υποκείμενα. Στο Κεφάλαιο 5 γίνεται ανίχνευση σημείων επιρροής για δίτιμα δεδομένα με ένα 2PL-IRT μοντέλο με κύριο στόχο τον εντοπισμό τυχόν περιπτώσεων όπου τα αποτελέσματα της προσαρμογής ενός τέτοιου μοντέλου είναι παραπλανητικά και το προσδιορισμό της πηγής αυτού του φαινομένου.