Νοήματα σχετικά με την έννοια της καμπυλότητας στο χώρο που αναπτύσσουν μαθητές δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης και φοιτητές μαθηματικών με τη χρήση εργαλείων ψηφιακής τεχνολογίας

Abstract

The focal point of this thesis was the study and the structured description of mathematical meanings developed by both high school and mathematics students on concepts related to the curvature of a curve in space. In order to achieve this goal, I designed a microworld (digital environment), combining Differential geometry and the Geometry of the Turtle in a three-dimensional digital turtle geometry environment (MaLT) which combines dynamic handling of mathematical objects and symbolic expression through logo language.The distinction of curves is one of the main problems in Geometry, and according to the fundamental theorem of differential geometry, the appropriate corresponding tools are the concepts of curvature and torsion. What is observed is that, in secondary education, only static curves are met in, indeed, many different cognitive areas of the curriculum. Meanwhile, there is a complete lack of random three-dimensional curves study. Yet, such a study is considered to be absolutely natural and necessary. This is directly conceived, since in every type of practical activities and experiences in nature we constantly face curves in various forms. While in higher education, the strict formalism and the way the concept of curvature and related concepts are presented make the very concept difficult and not accessible to a large number of students, at the same time there are difficulties in connecting formalism and intuitive knowledge.The starting point of the experimentation for both pupils and students in existing studies was the resolution of an original problem of finding the shortest path between two points on a cylindrical surface using the specially designed 'shortest path microworld' in the MaLT environment. Solving the problem required the handling of unknown concepts for both pupils and students. What both pupils and students achieved was to give a mathematical form or an acceptable limit ‘logo-type’ form to the intuitive impression of curvature and torsion as the rate of change of the direction of a curve in space, which is created by the movement of a mobile object. According to the results of this study, it appears that with the use of new representational digital tools (such as MaLT environment) even young students are capable of exploring and representing three-dimensional dynamic concepts such as a curve, and with a different number and frequency comparing to what traditionally was considered to be feasible without necessarily bypassing the notion of curvature.

Κεντρικός στόχος της παρούσας διατριβής ήταν η μελέτη και δομημένη περιγραφή των μαθηματικών νοημάτων που αναπτύσσουν μαθητές της Γ τάξης Γυμνασίου και φοιτητές Μαθηματικών για έννοιες σχετικές με την καμπυλότητα μιας καμπύλης στο χώρο. Για την επίτευξη αυτού του στόχου, σχεδίασα έναν μικρόκοσμο (υπολογιστικό περιβάλλον), συνδυάζοντας τη Διαφορική γεωμετρία και τη Γεωμετρία της Χελώνας, σε ένα τρισδιάστατο ψηφιακό περιβάλλον γεωμετρίας της χελώνας (MaLT) που συνδυάζει το δυναμικό χειρισμό μαθηματικών αντικειμένων και τη συμβολική έκφραση μέσω της γλώσσας logo. Η διάκριση καμπυλών αποτελεί ένα από τα βασικά προβλήματα στη Γεωμετρία, και σύμφωνα με το θεμελιώδες θεώρημα της Διαφορικής Γεωμετρίας, τα αντίστοιχα κατάλληλα εργαλεία αποτελούν οι έννοιες της καμπυλότητας και της στρέψης. Αυτό το οποίο παρατηρείται, είναι ότι στη Δευτεροβάθμια Εκπαίδευση, συναντώνται μόνο στατικές καμπύλες, και μάλιστα σε πολλές και διαφορετικές γνωστικές περιοχές της διδακτέας ύλης, ενώ εκλείπει παντελώς η διερεύνηση τυχαίων και τρισδιάστατων καμπυλών. Μια τέτοιου είδους διερεύνηση όμως, κρίνεται απολύτως φυσική και απαραίτητη. Αυτό είναι άμεσα αντιληπτό, αφού σε κάθε είδος πρακτικής δραστηριότητας και εμπειριών στη φύση συνεχώς αντιμετωπίζουμε καμπύλες σε ποικίλες μορφές. Ενώ, στην τριτοβάθμια εκπαίδευση, ο αυστηρός φορμαλισμός και ο τρόπος που παρουσιάζεται η έννοια της καμπυλότητας και σχετικών με αυτήν εννοιών, καθιστά την ίδια την έννοια δύσκολη και μη προσιτή σε ένα μεγάλο πλήθος φοιτητών και ταυτόχρονα δύσκολη τη σύνδεση μεταξύ φορμαλιστικής και διαισθητικής γνώσης. Η αφετηρία των πειραματισμών για μαθητές και φοιτητές στις παρούσες έρευνες, αφορούσε την επίλυση ενός πρωτότυπου προβλήματος, της εύρεσης της συντομότερης διαδρομής μεταξύ δυο σημείων σε μια κυλινδρική επιφάνεια χρησιμοποιώντας τον ειδικά σχεδιασμένο μικρόκοσμο του ‘σύντομου δρόμου’ στο περιβάλλον του MaLT. Η επίλυση του προβλήματος, απαιτούσε τη διαπραγμάτευση άγνωστων εννοιών τόσο για τους μαθητές όσο και για τους φοιτητές. Αυτό το οποίο έχει επιτευχθεί από τους μαθητές και φοιτητές, ήταν να δώσουν μια μαθηματική μορφή ή μια αποδεκτή οριακή ‘logo-τύπου’ μορφή στη διαισθητική εντύπωση της καμπυλότητας και της στρέψης ως η ταχύτητα μεταβολής της κατεύθυνσης μιας καμπύλης στο χώρο, που δημιουργείται από την κίνηση ενός κινητού. Από τα αποτελέσματα αυτών των ερευνών φαίνεται ότι με τα καινούρια αναπαραστασιακά ψηφιακά εργαλεία (όπως το περιβάλλον του MaLT) μπορούν ακόμη και μικροί μαθητές να διερευνούν και να αναπαριστούν τρισδιάστατες δυναμικές έννοιες όπως η καμπύλη, και μάλιστα με μια διαφορετική σειρά και συχνότητα σε σχέση με ότι παραδοσιακά εθεωρείτο εφικτό, χωρίς κατά ανάγκη να παρακάμψουμε την έννοια της καμπυλότητας.