Δυναμικά παίγνια με μεγάλο αριθμό παικτών: τυχαία είσοδος παικτών και τυχαίες αλληλεπιδράσεις

Abstract

We study some theoretical topics on the theory of Dynamic Games, having as motivation and possible application area the modeling of Electricity Markets and the Smart Grid. The thesis is divided into three parts.First Part: At first, some results on the theory of Markov Jump Linear Systems (MJLS), in which the Markov chain has a general state space are presented, extending the existing literature for discrete (finite or countably infinite) state space. Particularly, the mean square stability of the MJLS is characterized and the Linear Quadratic (LQ) control problems for the finite and infinite time horizon are solved, using appropriate Riccati type equations.We then analyze Dynamic Games in which there is a random entrance of players. Particularly, we consider an infinite time horizon player called the major player interacting with a random number of minor players having finite time horizons, the entrance of whom is governed by a Markov chain. The analysis is made in a LQ framework. The Nash equilibria are characterized using a set of coupled Riccati type equations for MJLS. An emphasis is paid on the large number of players case, in which the Mean Field (MF) approximation is used.Second Part: In this part, Static and Dynamic games involving agents interacting on a large graph are studied. We assume that the players do not know the graph of interactions precisely nor the other players preferences. Instead, we assume that each player possesses statistical information about the network of interactions, as well as some local information. Some notions from the Statistical Physics domain are modified to define a Probabilistic Approximate Nash (PAN) equilibrium concept. Furthermore, we define an informational complexity notion. Some special cases are then analyzed, involving Static and LQ games on Erdos-Renyi Random Graphs or Small World Networks, Static Quadratic games on Lattices and LQ games on rings.Third Part: In the last part of the thesis, the possibility of cheating Dynamic rules (such as learning or adaptation), when applied to Repeated or Dynamic Game situations with incomplete structural information, is studied. An example of such a game situation is the repeated reaction of the energy producing firms, where each one does not know precisely the production cost of its opponents.At first, two criteria to assess the Dynamic rules are stated. Then, we concentrate to a subclass of cheating strategies, called pretenders strategies and study some possible outcomes, when a player or all the players are pretending. If only one player pretends and there is enough uncertainty the outcome would be the same as if the pretending player were the Stackelberg leader. Furthermore, in games with a large number of equivalent players, the gain from pretending is small and the optimal pretended values are close to the actual. Finally, we study applications to Electricity Market models. Cases where pretending enhances cooperation or competition are identified.

Η διατριβή αυτή εξετάζει ορισμένα θεωρητικά θέματα στη θεωρία των Δυναμικών Παιγνίων, έχοντας ως κίνητρο και πιθανή περιοχή εφαρμογής τη μοντελοποίηση των αγορών ηλεκτρικής ενέργειας και των ευφυών δικτύων. Η διατριβή χωρίζεται σε τρία μέρη.Πρώτο Μέρος:Αρχικά παρουσιάζονται κάποια αποτελέσματα για συστήματα με γραμμική δυναμική και Μαρκοβιανά άλματα ( MJLS ), στα οποία η αλυσίδα Markov έχει ένα γενικό χώρο κατάστασης, επεκτείνοντας τα αντίστοιχα αποτελέσματα της βιβλιογραφίας για διακριτό χώρο κατάστασης (πεπερασμένο ή αριθμήσιμα άπειρο). Συγκεκριμένα, χαρακτηρίζεται η μέση τετραγωνική ευστάθεια των συστημάτων αυτών και επιλύεται το πρόβλημα του Γραμμικού Τετραγωνικού ( LQ ) ελέγχου σε πεπερασμένο και άπειρο χρονικό ορίζοντα.Στη συνέχεια, αναλύονται μοντέλα Δυναμικών Παιγνίων στα οποία παρουσιάζεται \textit{τυχαία είσοδος} παικτών. Συγκεκριμένα, θεωρούμε ένα παίκτη με άπειρο χρονικό ορίζοντα (major player) και σε κάθε χρονική στιγμή ένα τυχαίο αριθμό από παίκτες με πεπερασμένους χρονικούς ορίζοντες (minor players), των οποίων η είσοδος περιγράφεται από μια αλυσίδα Markov. Η ανάλυση γίνεται σε ένα Γραμμικό Τετραγωνικό πλαίσιο. Μελετάται και χαρακτηρίζεται η ισορροπία Nash με χρήση συζευγμένων εξισώσεων τύπου Riccati για MJLS , ενώ έμφαση δίνεται στην περίπτωση παιγνίων με πολύ μεγάλο αριθμό minor players . Δεύτερο μέρος:Στο μέρος αυτό αναλύονται Στατικά και Δυναμικά παιχνίδια στα οποία οι συμμετέχοντες αλληλεπιδρούν πάνω σε κάποιο μεγάλο Δίκτυο. Θεωρούμε ότι οι παίκτες δεν έχουν πλήρη γνώση των χαρακτηριστικών του δικτύου των αλληλεπιδράσεων, ούτε των προτιμήσεων των παικτών που συμμετέχουν. Αντ’ αυτού θεωρούμε ότι διαθέτουν στατιστικές πληροφορίες για το δίκτυο αλληλεπιδράσεων, καθώς και κάποιες τοπικές πληροφορίες. Ορισμένες έννοιες από τη Στατιστική Φυσική χρησιμοποιούνται για να οριστεί μια έννοια κατά πιθανότητα προσεγγιστικής ισορροπίας σε παιχνίδια με μεγάλο αριθμό παικτών, ενώ ορίζεται και μια έννοια πληροφοριακής πολυπλοκότητας. Αναλύονται, τέλος, διάφορα παραδείγματα παιγνίων με αλληλεπιδράσεις σε μεγάλα δίκτυα, όπως Στατικά και Γραμμικά Τετραγωνικά Δυναμικά Παιχνίδια σε τυχαία γραφήματα τύπου Erdos-Renyi , Στατικά Τετραγωνικά Παιχνίδια σε πλέγματα και Γραμμικά Τετραγωνικά παιχνίδια σε δακτυλίους. Τρίτο μέρος:Στο τελευταίο μέρος της διατριβής μελετάται η δυνατότητα εξαπάτησης σε καταστάσεις στρατηγικής δυναμικής αλληλεπίδρασης χωρίς πλήρη δομική πληροφορία, στην περίπτωση που οι παίκτες χρησιμοποιούν στρατηγικές προσαρμογής/εκμάθησης. Παράδειγμα τέτοιας αλληλεπίδρασης είναι ο ανταγωνισμός μεταξύ παραγωγών ηλεκτρικής ενέργειας, όπου ο κάθε παραγωγός γνωρίζει το δικό του κόστος, ενώ δεν γνωρίζει το κόστος των άλλων παραγωγών. Αρχικά, διατυπώνονται κριτήρια για την αξιολόγηση των δυναμικών κανόνων. Στη συνέχεια, επικεντρώνουμε σε μια υποκατηγορία στρατηγικών εξαπάτησης τις οποίες καλούμε στρατηγικές υποκρισίας και αναλύουμε κάποια πιθανά αποτελέσματα της στρατηγικής αλληλεπίδρασης, όταν ένας ή περισσότεροι παίκτες υποκρίνονται. Προκύπτει ότι στην περίπτωση που ένας μόνο παίκτης υποκρίνεται και υπάρχει αρκετή αβεβαιότητα, τότε το αποτέλεσμα είναι ίδιο με την περίπτωση που ο παίκτης που υποκρίνεται ήταν Stackelberg αρχηγός. Επίσης προκύπτει ότι σε παιχνίδια με πολλούς, περίπου ισοδύναμους, παίκτες το όφελος από την υποκρισία είναι μικρό. Τέλος, μελετάμε εφαρμογές σε μοντέλα αγορών ηλεκτρικής ενέργειας και προσδιορίζονται περιπτώσεις στις οποίες η εξαπάτηση ενισχύει τη συνεργασία μεταξύ των παικτών και άλλες στις οποίες ενισχύει τον ανταγωνισμό.