Financial portfolio optimization using multiobjective evolutionary algorithms

Abstract

This thesis focuses particularly on financial portfolio optimization problems using multiobjective evolutionary algorithms. The thesis is organized in eight chapters: seven chapters consisting of the main results of our research and a final chapter named Epilogue which contains a summary of the main results of this work, and outlines some ideas and further directions for future research. Each chapter of this thesis has been extracted from autonomous research papers. Chapter 1 provides an overview of the main portfolio selection models with complex constraints and/or multiple objectives and surveys the literature on the use of multiobjective metaheuristics (MOMHs) applied in complex portfolio optimization problems. Chapter 2 investigates the ability and compares the effectiveness of state-of-the-art multiobjective evolutionary algorithms (MOEAs), to solve complex portfolio optimization problems. Chapter 3 considers a mean-variance portfolio optimization model extended to include class, cardinality and quantity constraints. This chapter proposes a novel, generalized form of class constraints that both limit the proportion of the portfolio invested in certain classes and impose lower and up-per bounds on the number of classes that the portfolio is being "exposed”. Three of the main MOEAs with a problem specific data structure for chromosome representation and specialized variation operators are implemented. Chapter 4 compares the effectiveness of state-of-the-art MOEAs together with a steady-state evolutionary algorithm on the mean-variance cardinality constrained portfolio optimization problem (MVCCPO). Chapter 5 solves different constrained mean-risk portfolio optimization models using a recently developed simulated annealing-based multiobjective optimization algorithm. Chapter 6 formulates the portfolio selection as a tri-objective optimization problem so as to find tradeoffs between risk, return and the number of securities in the portfolio. Furthermore, quantity and class constraints are introduced into the model in order to limit the proportion of the portfolio invested in assets with common characteristics and to avoid very small holdings. The problem is solved using state-of-the-art multiobjective evolutionary algorithms. Chapter 7 considers a large-scale three-objective mean-variance-skewness portfolio selection model with additional real-world constraints which limit the number of assets in the portfolio and the amount invested in these assets. The problem is solved using the best multiobjective evolutionary algorithm, namely SPEA2.

Η βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου αποτελεί ένα από τα σημαντικότερα προβλήματα της χρηματοοικονομικής επιστήμης και συνίσταται στην εύρεση των ποσοστών των κεφαλαίων που πρέπει να επενδυθούν σε ένα σύνολο περιουσιακών στοιχείων (assets), με στόχο την ταυτόχρονη βελτιστοποίηση της απόδοσης (μεγιστοποίηση) και της επικινδυνότητας (ελαχιστοποίηση) του χαρτοφυλακίου, ή την μεγιστοποίηση της αναμενόμενης χρησιμότητας. Η σύγχρονη θεωρία χαρτοφυλακίου οφείλει την ύπαρξη της στον νομπελίστα Η. Markowitz ο οποίος πρότεινε το γνωστό μοντέλο μέσου-διακύμανσης, το οποίο μπορεί να επιλυθεί με μεθόδους τετραγωνικού προγραμματισμού. Ο Markowitz κατασκεύασε ένα ποσοτικό πλαίσιο εργασίας, στο οποίο το επιλεγμένο χαρτοφυλάκιο είναι βέλτιστο με βάση την αναμενόμενη απόδοση και την διακύμανση της απόδοσης και μεγιστοποιεί την συνάρτηση χρησιμότητας (utility function). Το βέλτιστο χαρτοφυλάκιο προσφέρει την μεγαλύτερη αναμενόμενη απόδοση για δεδομένο επίπεδο κινδύνου και τον μικρότερο κίνδυνο για δεδομένο επίπεδο απόδοσης. Όλα αυτά τα χαρτοφυλάκια ονομάζονται αποτελεσματικά και αποτελούν το λεγόμενο αποτελεσματικό σύνορο (efficient frontier). Υπό την προϋπόθεση ότι οι αποδόσεις των περιουσιακών στοιχείων ακολουθούν την κανονική κατανομή η εύρεση του αποτελεσματικού συνόρου επιτυγχάνεται με μεθόδους τετραγωνικού προγραμματισμού. Ωστόσο, στην πραγματικότητα η κατανομή των αποδόσεων των περιουσιακών στοιχείων χαρακτηρίζεται από παχιές ουρές (fat tails) αντί να ακολουθεί την κανονική κατανομή, και επιπλέον περιορισμοί λαμβάνονται υπ' όψιν από τους επενδυτές. Για τον λόγο αυτό έχουν προταθεί διάφορες άλλες μορφές μέτρησης της επικινδυνότητας, π.χ. Value-at-Risk, και πρόσθετοι περιορισμοί έχουν εισαχθεί στο μοντέλο προκειμένου, για παράδειγμα, να γίνει έλεγχος στο μέγεθος του χαρτοφυλακίου και να τεθούν όρια στο ποσοστό συμμετοχής των περιουσιακών στοιχείων. Σε κάθε περίπτωση, οι πρόσθετοι περιορισμοί οδηγούν σε ένα σύνολο ακέραιων μεταβλητών και το πρόβλημα βελτιστοποίησης γίνεται αρκετά πολύπλοκο. Σε τέτοιες περιπτώσεις, και ειδικά σε μεγάλα στιγμιότυπα του προβλήματος οι κλασικές μέθοδοι βελτιστοποίησης δεν είναι αποτελεσματικές και η χρήση ευρετικών μεθόδων είναι η μόνη εναλλακτική λύση για την εύρεση βέλτιστων λύσεων σε λογικό υπολογιστικό χρόνο. Στη παρούσα διατριβή μελετούμε την χρησιμότητα των λεγόμενων πολυστοχικών εξελικτικών αλγορίθμων για την επίλυση πολύπλοκων προβλημάτων βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου με πολύπλοκες συναρτήσεις μέτρησης της επικινδυνότητας, επιπλέον ακέραιους περιορισμούς και αντικειμενικές συναρτήσεις. Στο πρώτο κεφάλαιο παρουσιάζουμε μια επισκόπηση της βιβλιογραφίας στα πρακτικά μοντέλα επιλογής χαρτοφυλακίου που έχουν προταθεί τα τελευταία 10 με 15 χρόνια καθώς και τις πολυστοχικές μεταευρετικές τεχνικές που έχουν προταθεί για την επίλυση τους. Στο δεύτερο κεφάλαιο εξετάζουμε δύο σύνθετα προβλήματα βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου μέσου-ρίσκου με το ρίσκο να μετρείται χρησιμοποιώντας την αξία-σε-κίνδυνο (value-at-risk (VaR)) και την αναμενόμενη μείωση (expected shortfall). Επιπλέον, πολύπλοκοι περιορισμοί, όπως περιορισμοί πληθικότητας, ποσότητας και περιορισμοί κατηγορίας εισάγονται στα μοντέλα. Τα μοντέλα επιλύονται χρησιμοποιώντας τρείς από τους καλύτερους και πιο δημοφιλής πολυστοχικούς εξελικτικούς αλγορίθμους. Τέλος, παρουσιάζεται μια υπολογιστική σύγκριση των αλγορίθμων αυτών. Στο τρίτο κεφάλαιο προτείνουμε μια νέα γενικευμένη μορφή των περιορισμών κατηγορίας η οποία περιορίζει το ποσοστό του χαρτοφυλακίου που επενδύεται σε συγκεκριμένες κατηγορίες καθώς επίσης θέτει κάτω και άνω όρια στον αριθμό των κατηγοριών στις οποίες «εκτίθεται» το χαρτοφυλάκιο. Αυτή η γενίκευση είναι μια βελτίωση των περιορισμών κατηγορίας η οποία επεκτείνει την ευκαμψία τους και ικανοποιεί τις διάφορες επιλογές των επενδυτών για την επιλογή χαρτοφυλακίου. Το δι-στοχικό αυτό πρόβλημα βελτιστοποίησης επιλύεται ενσωματώνοντας μια νέα δομή δεδομένων για την αναπαράσταση του χρωμοσώματος, συγκεκριμένη για το πρόβλημα, καθώς και εξειδικευμένους τελεστές αναπαραγωγής λύσεων στους τρέχοντες δημοφιλείς πολυστοχικούς εξελικτικούς αλγορίθμους. Παρουσιάζεται η δυνατότητα των αλγορίθμων να επιλύσουν το πρόβλημα καθώς και μια πειραματική σύγκριση τους. Επιπλέον, τα εμπειρικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η πρόταση μας παρουσιάζει παρόμοια απόδοση με μια δημοφιλή δομή δεδομένων που έχει προταθεί στο παρελθόν για την επίλυση μιας ειδικής περίπτωσης του μοντέλου μας. Στο τέταρτο κεφάλαιο παρουσιάζεται μία σύγκριση της αποτελεσματικότητας πέντε δημοφιλών πολυστοχικών εξελικτικών αλγορίθμων καθώς και ενός μονοστοχικού γενετικού αλγόριθμου στο πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου μέσου-διακύμανσης με περιορισμούς πληθικότητας. Τα αποτελέσματα φανερώνουν ότι οι πολυστοχικοί εξελικτικοί αλγόριθμοι είναι αποδοτικότεροι του πιο συχνά εφαρμοζόμενου στη βελτιστοποίηση χαρτοφυλακίου με ευρετικές μεθόδους μονοστοχικού εξελικτικού αλγορίθμου. Επιπλέον, παρουσιάζουμε την ικανότητα των δύο καλύτερων πολυστοχικών εξελικτικών αλγορίθμων να επιλύσουν μεγάλης κλίμακας στιγμιότυπα του μοντέλου. Στο πέμπτο κεφάλαιο προτείνεται και συγκρίνεται ένας, πρόσφατα δημοσιευμένος πολυστοχικός αλγόριθμος προσομοιωμένης ανόπτησης στο πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου μέσου-ρίσκου με περιορισμούς πληθικότητας. Τέσσερα μέτρα μέτρησης του ρίσκου χρησιμοποιούνται: η κλασσική διακύμανση, και τρία μέτρα μέτρησης της επικινδυνότητας που απαρτίζουν τη λεγόμενη οικογένεια των προς τα κάτω μέτρων μέτρησης της επικινδυνότητας (downside risk measures) δηλ. την αναμενόμενη μείωση, αξία-σε-κίνδυνο, και την ημιδιακύμανση. Τα παρουσιαζόμενα εμπειρικά αποτελέσματα δείχνουν ότι η προτεινόμενη τεχνική είναι ικανοποιητικά αποδοτική και αξιόπιστη στην επίλυση των μοντέλων. Επιπλέον, παρουσιάζεται μια πειραματική σύγκριση με τον πιο δημοφιλή πολυστοχικό αλγόριθμο, SPEA2. Στο κεφάλαιο έξι προτείνουμε ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου με τρεις αντικειμενικές συναρτήσεις και ακέραιες μεταβλητές και το επιλύουμε με τρείς δημοφιλής πολυστοχικούς εξελικτικούς αλγορίθμους. Υπολογιστικά αποτελέσματα παρουσιάζονται για μεγάλης κλίμακας προβλήματα με 200 και 300 μετοχές. Στο κεφάλαιο επτά προτείνουμε μία πολυστοχική εξελικτική τεχνική, ονομαστικά τον SPEA2, για την επίλυση ενός μέσου-διακύμανσης-ασυμμετρίας (mean-variance-skewness) μοντέλου βελτιστοποίησης χαρτοφυλακίου με ακέραιους περιορισμούς πληθικότητας. Το αντίκτυπο των περιορισμών στο μοντέλο αναλύετε μέσω υπολογιστικών αποτελεσμάτων.