Θεωρία διαστάσεων και καθολικοί χώροι

Abstract

Peano' s construction in 1890 of a continuous map of a segment onto a square gave rise to the problem of whether a segment and a square are homeomorphic and generally whether the cubes $I^{n}$ and $I^{m}$ are homeomorhic for $n\neq m$. This problem was solved by Brouwer in 1911 and the investigation of this problem leads to the definitions of ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$, and ${\rm dim}$ and generally to the beginning of Dimension Theory. In this thesis we define new dimension-like functions of the type ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ and ${\rm dim}$ and we give basic properties of Dimension Theory (subspace theorems, sum theorems, product theorems) for these dimension-like functions. Using the introduced dimension-like functions, new classes of spaces are defined and the investigation of the universality problem for these classes is given, that is whether there exists universal space in these classes. A space $T$ is said to be universal in a class ${\rm I\!P}$ of spaces if $T\in{\rm I\!P}$ and for every $X\in{\rm I\!P}$ there exists an embedding of $X$ into $T$. For the existence of universal elements in these classes is used the construction of Containing Spaces given in book: S.D. Iliadis, Universal spaces and mappings, North-Holland Mathematics Studies, 198. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005. xvi+559 pp.

Η κατασκευή του Peano το 1890 μιας συνεχούς απεικόνισης από ένα τμήμα επί ενός τετραγώνου έδωσε αφορμή για το πρόβλημα εάν ένα τμήμα και ένα τετράγωνο είναι ομοιόμορφα, και γενικότερα εάν ο $n$-κύβος $I^{n}$ είναι ομοιόμορφος με τον $m$-κύβο $I^{m}$ για $n\neq m$. Το πρόβλημα αυτό λύθηκε από τον Brouwer το 1911 και η μελέτη αυτού του προβλήματος οδήγησε στον ορισμό των διαστάσεων ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ και ${\rm dim}$ και γενικότερα στη γένεση και ανάπτυξη της Θεωρίας Διαστάσεων. Στη διατριβή αυτή ορίζονται διαστάσεις-συναρτήσεις του τύπου ${\rm ind}$, ${\rm Ind}$ και ${\rm dim}$ και αποδεικνύονται βασικές ιδιότητες της Θεωρίας Διαστάσεων (θεωρήματα υποχώρου, αθροίσματος και γινομένου) για τις συναρτήσεις αυτές. Με τη βοήθεια των συναρτήσεων αυτών ορίζονται νέες κλάσεις τοπολογικών χώρων και μελετάται για τις κλάσεις αυτές το πρόβλημα της καθολικότητας, δηλαδή της ύπαρξης ή μη καθολικών χώρων για τις κλάσεις αυτές. Ένας τοπολογικός χώρος $T$ καλείται καθολικός για μια κλάση ${\rm I\!P}$ τοπολογικών χώρων, όταν ο $T$ ανήκει στην κλάση ${\rm I\!P}$ και κάθε τοπολογικός χώρος που ανήκει στην κλάση ${\rm I\!P}$ περιέχεται τοπολογικά στο χώρο $T$. Για την ύπαρξη καθολικών στοιχείων στις κλάσεις αυτές χρησιμοποιείται η μέθοδος κατασκευής Περιεκτικών Χώρων του βιβλίου: S.D. Iliadis, Universal spaces and mappings, North-Holland Mathematics Studies, 198. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 2005. xvi+559 pp.