Συμβολές στη μη λεία και πλειότιμη ανάλυση

Abstract

Η Πλειότιμη Ανάλυση είναι ένα μείγμα από διαφορετικά μαθηματικά πεδία, όπως η τοπολογία, η θεωρία μέτρου, η περιγραφική συνολοθεωρία και η μη-γραμμική ανάλυση. Η ανάγκη για τη μελέτη απεικονήσεων οι οποίες παίρνουν ως τιμές σύνολα, τις οποίες και καλούμε πλειότιμες συναρτήσεις, αναγνωρίστηκε από τις αρχές του εικοστού αιώνα και πολλοί αξιόλογοι μαθηματικοί όπως οι Hausdorff, Vietoris, Hahn και Kura- towski (για να αναφέρουμε μερικούς) έκαναν κάποιες αρχικές έρευνες. Σήμερα η Πλειότιμη Ανάλυση έχει εξελιχθεί σε ένα ώριμο, αυτόνομο πεδίο μαθηματικής δραστηριότητας, με τις δικές της μεθόδους, τεχνικές και εργαλεία και με πολλές εφαρμογές. Επιπλέον η Πλειότιμη Ανάλυση έχει μεγάλη σχέση με τη Μη Λεία Ανάλυση. Άλλωστε δεν είναι σύμπτωση ότι η πραγματική έκρηξη της Πλειότιμης Ανάλυσης έγινε όταν εμφανίστηκε η Μη Λεία Ανάλυση. Από τότε τα δύο πεδία είναι στενά συνδεδεμένα και παρέχουν το ένα στο άλλο καινούργια εργαλεία, ιδέες και αποτελέσματα. Η Μη Λεία Ανάλυση είναι η ανάπτυξη αναλυτικών εργαλείων και μεθόδων για τη μελέτη μη παραγωγίσιμων συναρτήσεων. Από τις πρώτες και πιο γνωστές τέτοιες προσπάθειες ήταν το υποδιαφορικό της κυρτής ανάλυσης του Rockafellar. Η μεγάλη ανάπτυξη όμως της Μη Λείας Ανάλυσης έγινε με το υποδιαφορικό του Clarke για τις τοπικά Lipschitz πραγματικές συναρτήσεις το 1973. Ο εξαιρετικός λογισμός του και οι πολύ ικανοποιητικές αναλυτικές του ιδιότητες, του επέτρεψαν να διαδοθεί αμέσως και να χρησιμοποιηθεί σε ένα ευρύτατο φάσμα προβλημάτων, αντικαθιστώντας με μεγάλη επιτυχία την έννοια της παραγώγου. Δυστυχώς, όμως, το υποδιαφορικό του Clarke δεν ήταν πανάκεια. Ήδη, από τις αρχές της δεκαετίας του '90, έγινε σαφές ότι το υποδιαφορικό του Clarke ήταν εξαιρετικά παθολογικό για μια μεγάλη κλάση συναρτήσεων (παραπέμπουμε στις εργασίες των Preise [51] και Jouini [30]). Συγκεκριμένα υπάρχουν υπεραριθμήσιμες, διακριτές μεταξύ τους, Lipschitz συναρτήσεις f : R —> R για τις οποίες θcf(x) = [0,1] για κάθε x ∈ R. Είναι σαφές ότι για αυτές τις συναρτήσεις το υποδιαφορικό του Clarke δεν παρέχει καμία ουσιαστική πληροφορία. Σε μία πρόσφατη εργασία οι Borwein, Moors και Wang επέκτειναν αυτά τα αποτελέσματα σε γενικούς χώρους Banach, κάνοντας χρήση του θεωρήματος κατηγορίας του Baire. […]