Διαμόρφωση χώρο-χρονικών μοτίβων σε συνεχή και διακριτά δυναμικά συστήματα

Abstract

The present thesis investigates the formation of spatiotemporal patterns in continuous and discrete dynamical systems, focusing on the mathematical analysis and numerical simulation of the dynamical behavior of three discrete systems: the two-dimensional Lefever-Lejeune (DLL) system, and the one-dimensional Lefever-Lejeune (DLL) and Swift-Hohenberg (DSH) systems, which are subjected to a spatially periodic external forcing. The structure of the thesis includes the analytical foundation of the systems, the study of stability dynamics, and the verification of theoretical conclusions through characteristic numerical experiments. The study initiates with a rigorous definition of the models and the space discretization process, introducing the necessary parameters, most notably the discretization parameter h. After defining the discrete operators involved in the governing equations of the systems, various types of boundary conditions are specified such as vanishing at infinity, Dirichlet conditions, and periodic boundary conditions, which consequently shape the respective functional spaces of the solutions along with their norms. Particular emphasis is placed on existence and uniqueness theorems for the solutions. Subsequently, the research turns to the global convergence regime, examining the asymptotic behavior of the solutions. Under specific conditions of soil resource scarcity, problematic reproduction, or excessive competition among plants, the asymptotic convergence of solutions to zero is proven for the two-dimensional DLL system. Concurrently, conclusions are drawn regarding the existence of uniform bounds, which guarantee that the solutions do not diverge. A corresponding analysis is performed for both one-dimensional systems (DLL and DSH) under the influence of the spatially periodic external intervention. The study starts from the global stability of the zero state and extends to analytical estimates regarding the convergence dynamics to non-zero equilibrium states, which are readjusted due to the presence of the external excitation. The next stage of the work concerns linear stability analysis. At this stage, the systems are linearized around their equilibrium states in order to determine the conditions under which instabilities manifest. Under specific conditions, these instabilities acquire the characteristics of Turing instabilities and are responsible for pattern formation. This analysis is specified separately for the two-dimensional DLL system, highlighting the particularities introduced by the additional dimension, and separately for the one-dimensional models, where the periodic external forcing modifies the destabilization mechanisms. The theoretical framework is validated by a set of simulations. Initially, certain clarifications required due to space discretization and related to periodic solutions are provided. The first simulations target the dynamical behavior of the two-dimensional DLL system under Dirichlet and periodic boundary conditions. Of particular interest is the phenomenon of "instability invasion" into zero nodes, as well as the use of initial conditions with a Gaussian distribution. In the same context, subsequent numerical experiments are conducted for the one-dimensional DLL and DSH systems with external forcing. They aim to highlight the mechanisms of final pattern formation under external forcing as a regulatory factor of the dynamics. Furthermore, the study explores how initial conditions and external forcing could be synchronized to produce predictable formations. Overall, the study of these systems in discretized space demonstrates, on one hand, how interactions in a two-dimensional discrete space and, on the other hand, how external periodic interventions contribute to creating, stabilizing, or destroying spatial and temporal patterns, offering valuable tools for understanding similar physical systems.

Η παρούσα εργασία μελετάει τη διαμόρφωση χωροχρονικών μοτίβων σε συνεχή και διακριτά δυναμικά συστήματα, εστιάζοντας στη μαθηματική ανάλυση και την αριθμητική προσομοίωση της δυναμικής συμπεριφοράς τριών διακριτών συστημάτων: το δισδιάστατο Lefever - Lejeune (DLL) και τα μονοδιάστατα συστήματα Lefever - Lejeune (DLL) και Swift - Hohenberg (DSH), στα οποία επιβάλλεται μια χωρικά περιοδική εξωτερική παρέμβαση. Η δομή της εργασίας περιλαμβάνει την αναλυτική θεμελίωση των συστημάτων, τη μελέτη της δυναμικής της ευστάθειας, καθώς και την επαλήθευση των θεωρητικών συμπερασμάτων μέσω χαρακτηριστικών αριθμητικών πειραμάτων. Η μελέτη λοιπόν ξεκινάει με τον αυστηρό ορισμό των μοντέλων και τη διαδικασία διακριτοποίησης του χώρου, εισάγοντας τις απαραίτητες παραμέτρους με κυριότερη, την παράμετρο διακριτοποίησης h. Αφού ορισθούν οι διακριτοί τελεστές οι οποίοι εμπλέκονται στις εξισώσεις των συστημάτων, ορίζονται οι διάφοροι τύποι συνοριακών συνθηκών, όπως οι μηδενιζόμενες στο άπειρο, οι συνθήκες Dirichlet και οι περιοδικές συνοριακές συνθήκες, οι οποίες διαμορφώνουν και τους αντίστοιχους συναρτησιακούς χώρους των λύσεων με τις νόρμες τους. Ιδιαίτερη έμφαση δίνεται στα θεωρήματα ύπαρξης και μοναδικότητας λύσεων. Στη συνέχεια, η έρευνα στρέφεται στο καθεστώς της καθολικής σύγκλισης, εξετάζοντας την ασυμπτωτική συμπεριφορά των λύσεων. Υπό συγκεκριμένες συνθήκες ανεπάρκειας του εδάφους σε πόρους, προβληματικής αναπαραγωγής ή υπερβολικού ανταγωνισμού μεταξύ των φυτών, για το δισδιάστατο σύστημα DLL, αποδεικνύεται η ασυμπτωτική σύγκλιση των λύσεων στο μηδέν. Παράλληλα εξάγονται συμπεράσματα για την ύπαρξη ομοιόμορφων φραγμάτων, τα οποία εγγυώνται ότι οι λύσεις δεν αποκλίνουν. Αντίστοιχη ανάλυση πραγματοποιείται και για τα δύο μονοδιάστατα συστήματα (DLL και DSH) υπό την επίδραση της χωρικά περιοδικής εξωτερικής παρέμβασης. Η μελέτη ξεκινάει από την καθολική ευστάθεια της μηδενικής κατάστασης, και επεκτείνεται σε αναλυτικές εκτιμήσεις σχετικά με τη δυναμική σύγκλισης σε μη μηδενικές καταστάσεις ισορροπίας, οι οποίες αναπροσαρμόζονται λόγω της ύπαρξης της εξωτερικής διέγερσης. Το επόμενο στάδιο της εργασίας αφορά τη γραμμική ανάλυση ευστάθειας, κατά το οποίο τα συστήματα γραμμικοποιούνται γύρω από τις καταστάσεις ισορροπίας τους, με σκοπό να προσδιοριστούν οι συνθήκες υπό τις οποίες εμφανίζονται αστάθειες. Αυτές οι αστάθειες υπό συγκεκριμένες συνθήκες αποκτούν τα χαρακτηριστικά των ασταθειών Turing και είναι υπεύθυνες για το σχηματισμό μοτίβων. Η ανάλυση αυτή εξειδικεύεται ξεχωριστά για το δισδιάστατο DLL, αναδεικνύοντας τις ιδιαιτερότητες που εισάγει η επιπλέον διάσταση, και ξεχωριστά για τα μονοδιάστατα μοντέλα, όπου η περιοδική εξωτερική παρέμβαση τροποποιεί τους μηχανισμούς αποσταθεροποίησης. Ένα σύνολο επιλεγμένων προσωμοιώσεων επιβεβαιώνει το θεωρητικό πλαίσιο και αναδεικνύει επιπλέον ενδιαφέρουσες πτυχές των συστημάτων. Αρχικά, δίνονται ορισμένες διευκρινίσεις που απαιτούνται λόγω της διακριτοποίησης του χώρου και σχετίζονται με τις περιοδικές λύσεις. Οι πρώτες προσομοιώσεις στοχεύουν στη δυναμική συμπεριφορά του δισδιάστατου συστήματος DLL υπό συνοριακές συνθήκες Dirichlet και περιοδικές . Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζει το φαινόμενο της «εισβολής της αστάθειας» σε μηδενικούς κόμβους, καθώς και η χρήση αρχικών συνθηκών με κατανομή Gauss. Στο ίδιο πλαίσιο, κινούνται και τα επόμενα τα αριθμητικά πειράματα για το μονοδιάστατο DLL και το DSH με εξωτερική παρέμβαση. Στοχεύουν στο να αναδειχθούν οι μηχανισμοί διαμόρφωσης των τελικών μοτίβων υπό την εξωτερική παρέμβαση ως ρυθμιστικού παράγοντα της δυναμικής. Επίσης μελετάται ο τρόπος με τον οποίο θα μπορούσαν να συντονιστούν οι αρχικές συνθήκες και η εξωτερική παρέμβαση ώστε να παράγονται προβλέψιμοι σχηματισμοί. Συνολικά από τη μελέτη των συστημάτων σε διακριτοποιημένο χώρο, αναδεικνύεται από τη μία, πώς οι αλληλεπιδράσεις, σε ένα δισδιάστατο διακριτό χώρο και από την άλλη, πώς οι εξωτερικές περιοδικές παρεμβάσεις, συμβάλουν στο να δημιουργήσουν, να σταθεροποιήσουν ή να καταστρέψουν χωρικά και χρονικά μοτίβα, προσφέροντας πολύτιμα εργαλεία για την κατανόηση παρόμοιων φυσικών συστημάτων.