Single crystal plasticity and plastic strain gradient effects: -: -

Abstract

This work develops a unified crystal plasticity framework that bridges local and non-local formulations to model the elastoplastic response of crystalline metals across scales, with a particular focus on body-centered cubic (BCC) crystals. The proposed implicit strain-gradient constitutive model enhances the local formulation by introducing a scalar non-local equivalent plastic strain measure, obtained from the corresponding local equivalent shear strain as the solution of a Helmholtz-type boundary value problem with appropriate boundary conditions. This enhancement introduces a microstructure-linked material length scale into the constitutive equations, thereby capturing grain-size–dependent strengthening through the resistance of grain boundaries to plastic flow. From a physical standpoint, the non-local equivalent plastic strain at a material point can be interpreted as a spatial average of the corresponding local equivalent shear strain over a finite neighborhood surrounding that point. Both rate-independent and rate-dependent crystal plasticity models are developed and verified, highlighting their distinctive algorithmic features. A consistent algorithm for the numerical integration of the non-local constitutive equations is derived, together with a finite-element implementation of the associated boundary value problem. The non-local models are implemented in ABAQUS/Standard using a material user subroutine and a coupled thermomechanical procedure, in which temperature and displacements are treated as nodal degrees of freedom, and temperature is employed as an auxiliary variable representing the non-local equivalent plastic strain. The resulting framework enables predictive representative-volume-element-based simulations of polycrystalline aggregates under periodic boundary conditions, linking microscopic fields to the macroscopic response through volume averaging. In parallel, a numerical integration scheme for a local non-Schmid single-crystal formulation is developed and implemented within the ABAQUS/Standard finite-element framework to capture low-temperature anisotropy and the resulting tension–compression yield asymmetry in BCC single crystals. Non-glide stresses entering the yield criterion render the flow non-associative and reduce the threshold for loss of strong ellipticity, thereby increasing the material’s susceptibility to strain localization. Several example problems are solved to verify the developed formulations. Together, the proposed non-local Schmid and local non-Schmid models provide a physically motivated and computationally efficient framework for predictive crystal plasticity simulations of the complex deformation behavior of BCC metals across length scales and temperature regimes.

Η παρούσα διδακτορική διατριβή ασχολείται με την ανάπτυξη, την αριθμητική ολοκλήρωση και την ενσωμάτωση καταστατικών μοντέλων κρυσταλλικής πλαστικότητας σε κώδικες πεπερασμένων στοιχείων, για την περιγραφή της ελαστοπλαστικής συμπεριφοράς κρυσταλλικών μετάλλων σε διαφορετικές κλίμακες μήκους, με ιδιαίτερη έμφαση σε μέταλλα χωροκεντρωμένου κυβικού πλέγματος (BCC). Κεντρικός στόχος της εργασίας είναι η διατύπωση ενός ενοποιημένου πλαισίου που γεφυρώνει τις κλασικές τοπικές θεωρίες πλαστικότητας με μη-τοπικές διατυπώσεις, μέσω της εισαγωγής χαρακτηριστικών μηκών συνδεδεμένων με τη μικροδομή, επιτρέποντας τη συνεπή ενσωμάτωση μικροδομικών χαρακτηριστικών στη μακροσκοπική απόκριση του υλικού. Στο πλαίσιο αυτό αναπτύσσεται ένα «έμμεσο» μη-τοπικό μοντέλο πλαστικότητας κλίσεως παραμόρφωσης, το οποίο επεκτείνει το κλασικό τοπικό μοντέλο κατά Schmid μέσω της εισαγωγής ενός βαθμωτού μη-τοπικού μέτρου ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης. Η μεταβλητή αυτή προσδιορίζεται από τη λύση ενός προβλήματος συνοριακής τιμής τύπου Helmholtz με κατάλληλες συνοριακές συνθήκες και εισάγει στις καταστατικές εξισώσεις ένα χαρακτηριστικό μήκος υλικού, συνδεδεμένο με τη μικροδομή. Η μη-τοπική διατύπωση επιτρέπει τη σύνδεση της μακροσκοπικής απόκρισης με μικροδομικά γνωρίσματα, όπως το μέγεθος κόκκων, και οδηγεί σε ρεαλιστική αποτύπωση φαινομένων μεγέθους, συμπεριλαμβανομένης της ενίσχυσης τύπου Hall–Petch. Αναπτύσσονται τόσο ρυθμοανεξάρτητα όσο και ρυθμοεξαρτώμενα μοντέλα κρυσταλλοπλαστικότητας, για τα οποία διατυπώνεται ένας συνεπής αλγόριθμος αριθμητικής ολοκλήρωσης των μη-τοπικών καταστατικών εξισώσεων, καθώς και η αντίστοιχη υλοποίησή τους στο πλαίσιο της μεθόδου των πεπερασμένων στοιχείων για την επίλυση του συναφούς προβλήματος συνοριακής τιμής. Τα μη-τοπικά μοντέλα υλοποιούνται στο ABAQUS/Standard μέσω υπορουτίνας υλικού (UMAT), αξιοποιώντας ένα συζευγμένο θερμομηχανικό σχήμα, στο οποίο οι μετατοπίσεις και η θερμοκρασία αποτελούν κομβικούς βαθμούς ελευθερίας, με τη θερμοκρασία να εισάγεται ως αναλογική μεταβλητή της μη-τοπικής ισοδύναμης πλαστικής παραμόρφωσης. Το προτεινόμενο υπολογιστικό πλαίσιο επιτρέπει τη διεξαγωγή προβλεπτικών προσομοιώσεων αντιπροσωπευτικών στοιχειωδών πολυκρυσταλλικών όγκων υπό περιοδικές συνοριακές συνθήκες, συνδέοντας τα μικροσκοπικά πεδία παραμόρφωσης με τη μακροσκοπική απόκριση μέσω χωρικής ολοκλήρωσης. Παράλληλα, η διατριβή εξετάζει τη μηχανική συμπεριφορά BCC μονοκρυστάλλων σε χαμηλές θερμοκρασίες, όπου η πλαστική παραμόρφωση επηρεάζεται από τη μη-επίπεδη εξάπλωση του πυρήνα των αταξιών έλικα. Το φαινόμενο αυτό οδηγεί σε απόκλιση από τις παραδοχές του νόμου του Schmid και εκδηλώνεται ως έντονη ανισοτροπία, εξάρτηση από τον προσανατολισμό φόρτισης και ασυμμετρία εφελκυσμού–θλίψης. Στο πλαίσιο αυτό αναπτύσσονται και υλοποιούνται τοπικά μη-Schmid καταστατικά μοντέλα, τα οποία εισάγουν μη-ολισθητικές συνιστώσες τάσης στο κριτήριο διαρροής, οδηγώντας σε μη-συζευγμένη πλαστική ροή. Η μη-συζευγμένη αυτή συμπεριφορά μειώνει το όριο απώλειας ισχυρής ελλειπτικότητας των εξισώσεων ισορροπίας, αυξάνοντας την ευαισθησία του υλικού σε φαινόμενα εντοπισμού της παραμόρφωσης. Η ακρίβεια και η υπολογιστική αποδοτικότητα των αναπτυγμένων τοπικών και μη-τοπικών διατυπώσεων τεκμηριώνονται μέσω αντιπροσωπευτικών αριθμητικών εφαρμογών. Συνολικά, τα προτεινόμενα μη-τοπικά Schmid και τοπικά μη-Schmid μοντέλα συνθέτουν ένα φυσικά θεμελιωμένο και αριθμητικά αποδοτικό πλαίσιο για την προβλεπτική προσομοίωση της πολύπλοκης πλαστικής συμπεριφοράς BCC μετάλλων σε διαφορετικές κλίμακες μήκους και εύρη θερμοκρασίας.